3 Sin solaparse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no necesariamente todas del mismo tamaño. [asy] unitsize(.85cm); draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1)); draw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed); label("\footnotesize $a$",(0.5,0),S); label("\footnotesize $a$",(0,0.5),W); label("\footnotesize $a$",(1,0.5),E); label("\footnotesize $a$",(0,1.5),E); label("\footnotesize $a$",(1,1.5),W); label("\footnotesize $a$",(-0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(1.5,2),N); [/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentre el valor más pequeño de $\lambda$ tal que toda configuración de baldosas de este tipo tenga un área total menor que $\lambda$.

7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Hay $n$ celdas en un círculo, y a cada celda se le asigna $0$ o $1$. Hay un gallo en una de estas celdas, y repite la siguiente operación: $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $0$, cambia el número asignado a $1$ y se mueve a la siguiente celda en sentido antihorario. $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $1$, cambia el número asignado a $0$ y se mueve a la celda siguiente a la inmediata en sentido antihorario. Demuestre que la siguiente afirmación se cumple después de un número suficientemente grande de operaciones: Si el gallo está en una celda $C$, entonces el gallo dará la vuelta al círculo exactamente tres veces, deteniéndose de nuevo en $C$. Además, cada celda tendría asignado el mismo número que tenía asignado justo antes de que el gallo diera la vuelta al círculo tres veces. Aiden-1089

1 (a) Demuestre que $\frac{1}{n+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para $n \geq 0.$ (b) Dado un entero positivo $k$, determine el entero más pequeño $C_k$ con la propiedad de que $\frac{C_k}{n+k+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para todo $n \geq k.$ Amir

4 Un conjunto de 1990 personas se divide en subconjuntos disjuntos de tal manera que 1. Nadie en un subconjunto conoce a todos los demás en el mismo subconjunto, 2. Entre cualesquiera tres personas en un subconjunto, siempre hay al menos dos que no se conocen entre sí, y 3. Para cualesquiera dos personas en un subconjunto que no se conocen entre sí, existe exactamente una persona en el mismo subconjunto que conoce a ambas. (a) Demuestre que dentro de cada subconjunto, cada persona tiene el mismo número de conocidos. (b) Determine el número máximo posible de subconjuntos. Nota: Se entiende que si una persona $A$ conoce a la persona $B$, entonces la persona $B$ conocerá a la persona $A$; un conocido es alguien a quien se conoce. Se asume que toda persona se conoce a sí misma.

9 Dados dos números reales cualesquiera $\alpha$ y $\beta$, $0 \leq \alpha < \beta \leq 1$, demuestre que existe un número natural $m$ tal que \[\alpha < \frac{\phi(m)}{m} < \beta.\] Amir

18 Se le da un sistema algebraico que admite suma y multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas, excepto la conmutatividad de la multiplicación. Demuestre que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde $x^{-1}$ es el elemento para el cual $x^{-1}x = xx^{-1} = e$, donde $e$ es el elemento del sistema tal que para todo $a$ se cumple la igualdad $ea = ae = a$. Amir

6 Dara y Sara están jugando un juego. Suponga que al comienzo del juego, hay $n$ recipientes, cada uno con una cierta cantidad de piedras. La operación "lanzar" consiste en elegir un recipiente y lanzar una piedra dentro de él. El juego comienza con Dara, y ellos toman turnos alternativamente. Dara realiza un lanzamiento en cada uno de sus turnos, mientras que Sara realiza $n-1$ lanzamientos en cada uno de sus turnos. Demuestre que Sara puede jugar de tal manera que, al menos una vez, al final del turno de algún jugador, exista un entero mayor que $1$ que divida a las cantidades de piedras en cada uno de los recipientes.

5 $100$ personas trabajan en una empresa. Sabemos que al menos $1$ y como máximo $98$ de ellas son ladrones. Esta empresa tiene $m$ almacenes, y a cada una de las $100$ personas se le ha informado la ubicación de un número distinto de cero de estos almacenes. El primer día del año, todos los ladrones informan las ubicaciones de todos los almacenes que conocen a su jefe (quien está fuera de la empresa), y su jefe ataca todos los almacenes reportados. Afortunadamente, la forma en que se informó a las personas sobre las ubicaciones de los almacenes garantiza que, después de este ataque, podemos identificar al menos a uno de los ladrones. Encuentre el valor más pequeño de $m$ que satisface esta condición.

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Considere $n$ progresiones aritméticas infinitas de enteros no negativos con la propiedad de que entre cualesquiera $k$ enteros no negativos consecutivos, al menos uno de los $k$ enteros pertenece a una de las $n$ progresiones aritméticas. Sean $d_1,d_2,\ldots,d_n$ las diferencias de las progresiones aritméticas, y sea $d=\min\{d_1,d_2,\ldots,d_n\}$. En términos de $n$ y $k$, ¿cuál es el valor máximo posible de $d$?