26 Sean $(a_n)_{n\geq0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ dos sucesiones de números naturales. Determine si existe un par $(p, q)$ de números naturales que satisfaga \[p < q \quad \text{ y } \quad a_p \leq a_q, b_p \leq b_q.\] Amir

25 Se dan cuatro círculos distintos $C, C_1, C_2, C_3$ y una recta $L$ en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ es tangente a los otros dos, así como a $C$ y a $L$. Suponiendo que el radio de $C$ es $1$, determine la distancia entre su centro y $L$.

20 Considere un cubo $C$ y dos planos $\sigma, \tau$, los cuales dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestre que el interior de al menos una de estas regiones interseca al menos tres caras del cubo. Amir

22 Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para todo par $x \in M, y \in M$ con $x < y$, existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y$. Amir

5 $100$ personas trabajan en una empresa. Sabemos que al menos $1$ y como máximo $98$ de ellas son ladrones. Esta empresa tiene $m$ almacenes, y a cada una de las $100$ personas se le ha informado la ubicación de un número distinto de cero de estos almacenes. El primer día del año, todos los ladrones informan las ubicaciones de todos los almacenes que conocen a su jefe (quien está fuera de la empresa), y su jefe ataca todos los almacenes reportados. Afortunadamente, la forma en que se informó a las personas sobre las ubicaciones de los almacenes garantiza que, después de este ataque, podemos identificar al menos a uno de los ladrones. Encuentre el valor más pequeño de $m$ que satisface esta condición.

9 Dados dos números reales cualesquiera $\alpha$ y $\beta$, $0 \leq \alpha < \beta \leq 1$, demuestre que existe un número natural $m$ tal que \[\alpha < \frac{\phi(m)}{m} < \beta.\] Amir

18 Se le da un sistema algebraico que admite suma y multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas, excepto la conmutatividad de la multiplicación. Demuestre que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde $x^{-1}$ es el elemento para el cual $x^{-1}x = xx^{-1} = e$, donde $e$ es el elemento del sistema tal que para todo $a$ se cumple la igualdad $ea = ae = a$. Amir

6 Dara y Sara están jugando un juego. Suponga que al comienzo del juego, hay $n$ recipientes, cada uno con una cierta cantidad de piedras. La operación "lanzar" consiste en elegir un recipiente y lanzar una piedra dentro de él. El juego comienza con Dara, y ellos toman turnos alternativamente. Dara realiza un lanzamiento en cada uno de sus turnos, mientras que Sara realiza $n-1$ lanzamientos en cada uno de sus turnos. Demuestre que Sara puede jugar de tal manera que, al menos una vez, al final del turno de algún jugador, exista un entero mayor que $1$ que divida a las cantidades de piedras en cada uno de los recipientes.

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Considere $n$ progresiones aritméticas infinitas de enteros no negativos con la propiedad de que entre cualesquiera $k$ enteros no negativos consecutivos, al menos uno de los $k$ enteros pertenece a una de las $n$ progresiones aritméticas. Sean $d_1,d_2,\ldots,d_n$ las diferencias de las progresiones aritméticas, y sea $d=\min\{d_1,d_2,\ldots,d_n\}$. En términos de $n$ y $k$, ¿cuál es el valor máximo posible de $d$?

7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?