21 Todos los lados y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un lado rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$. Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\] Amir

23 Determine la suma de todos los enteros positivos cuyos dígitos (en base diez) forman una sucesión estrictamente creciente o una sucesión estrictamente decreciente. Amir

15 Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ($S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas. Amir

4 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

9 Dados dos números reales cualesquiera $\alpha$ y $\beta$, $0 \leq \alpha < \beta \leq 1$, demuestre que existe un número natural $m$ tal que \[\alpha < \frac{\phi(m)}{m} < \beta.\] Amir

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Considere $n$ progresiones aritméticas infinitas de enteros no negativos con la propiedad de que entre cualesquiera $k$ enteros no negativos consecutivos, al menos uno de los $k$ enteros pertenece a una de las $n$ progresiones aritméticas. Sean $d_1,d_2,\ldots,d_n$ las diferencias de las progresiones aritméticas, y sea $d=\min\{d_1,d_2,\ldots,d_n\}$. En términos de $n$ y $k$, ¿cuál es el valor máximo posible de $d$?

6 Dara y Sara están jugando un juego. Suponga que al comienzo del juego, hay $n$ recipientes, cada uno con una cierta cantidad de piedras. La operación "lanzar" consiste en elegir un recipiente y lanzar una piedra dentro de él. El juego comienza con Dara, y ellos toman turnos alternativamente. Dara realiza un lanzamiento en cada uno de sus turnos, mientras que Sara realiza $n-1$ lanzamientos en cada uno de sus turnos. Demuestre que Sara puede jugar de tal manera que, al menos una vez, al final del turno de algún jugador, exista un entero mayor que $1$ que divida a las cantidades de piedras en cada uno de los recipientes.

1 Dado el triángulo $ABC$, sean $D$, $E$, $F$ los puntos medios de $BC$, $AC$, $AB$ respectivamente y sea $G$ el baricentro del triángulo. Para cada valor de $\angle BAC$, ¿cuántos triángulos no semejantes existen en los cuales $AEGF$ es un cuadrilátero cíclico?

1 Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ en tarjetas diferentes. Luego, baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

3 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.