24 Demuestre que si una persona a tiene infinitos descendientes (hijos, sus hijos, etc.), entonces a tiene una sucesión infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1$, $a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$). Se asume que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1. Demuestre que si a tiene infinitos ancestros, entonces a tiene una sucesión infinita descendente de ancestros (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$). Variante 2. Demuestre que si alguien tiene infinitos ancestros, entonces no todas las personas pueden descender de A(dam) y E(ve). Amir

13 Una pirámide truncada $n$-gonal regular está circunscrita alrededor de una esfera. Denotemos las áreas de la base y de las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ y $S$, respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos de tangencia de la esfera y las caras laterales de la pirámide. Demuestre que \[\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.\] Amir

8 Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Al lado de la caja hay un montón de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se introduce en la caja una bola negra del montón. Si tienen colores diferentes, se devuelve la bola blanca a la caja. Este procedimiento se repite hasta que se retiran las dos últimas bolas de la caja y se introduce una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? Amir

4 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

15 Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ($S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas. Amir

5 Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021 y cava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy nota que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el movimiento $k$-ésimo, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$. Demuestre que existe un valor de $k$ tal que, en el movimiento $k$-ésimo, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

21 Todos los lados y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un lado rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$. Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\] Amir

9 Dados dos números reales cualesquiera $\alpha$ y $\beta$, $0 \leq \alpha < \beta \leq 1$, demuestre que existe un número natural $m$ tal que \[\alpha < \frac{\phi(m)}{m} < \beta.\] Amir

6 Dara y Sara están jugando un juego. Suponga que al comienzo del juego, hay $n$ recipientes, cada uno con una cierta cantidad de piedras. La operación "lanzar" consiste en elegir un recipiente y lanzar una piedra dentro de él. El juego comienza con Dara, y ellos toman turnos alternativamente. Dara realiza un lanzamiento en cada uno de sus turnos, mientras que Sara realiza $n-1$ lanzamientos en cada uno de sus turnos. Demuestre que Sara puede jugar de tal manera que, al menos una vez, al final del turno de algún jugador, exista un entero mayor que $1$ que divida a las cantidades de piedras en cada uno de los recipientes.

18 Se le da un sistema algebraico que admite suma y multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas, excepto la conmutatividad de la multiplicación. Demuestre que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde $x^{-1}$ es el elemento para el cual $x^{-1}x = xx^{-1} = e$, donde $e$ es el elemento del sistema tal que para todo $a$ se cumple la igualdad $ea = ae = a$. Amir