8 Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Al lado de la caja hay un montón de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se introduce en la caja una bola negra del montón. Si tienen colores diferentes, se devuelve la bola blanca a la caja. Este procedimiento se repite hasta que se retiran las dos últimas bolas de la caja y se introduce una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? Amir

3 Sin solaparse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no necesariamente todas del mismo tamaño. [asy] unitsize(.85cm); draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1)); draw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed); label("\footnotesize $a$",(0.5,0),S); label("\footnotesize $a$",(0,0.5),W); label("\footnotesize $a$",(1,0.5),E); label("\footnotesize $a$",(0,1.5),E); label("\footnotesize $a$",(1,1.5),W); label("\footnotesize $a$",(-0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(1.5,2),N); [/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentre el valor más pequeño de $\lambda$ tal que toda configuración de baldosas de este tipo tenga un área total menor que $\lambda$.

3 Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros tal que $P(0) \neq 0$. Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros tal que $P(i - j)$ divide a $a_i-a_j$ para todos los enteros positivos distintos $i,j$. Demuestre que la sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ debe ser constante, es decir, $a_n$ es igual a una constante $c$ para todos los enteros positivos $n$. Aiden-1089

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\Gamma$. Sea $A_1$ la proyección ortogonal de $A$ sobre $BC$ de modo que $AA_1$ es una altura. Sean $B_1$ y $C_1$ las proyecciones ortogonales de $A_1$ sobre $AB$ y $AC$, respectivamente. El punto $P$ es tal que el cuadrilátero $AB_1PC_1$ es convexo y tiene la misma área que el triángulo $ABC$. ¿Es posible que $P$ se encuentre estrictamente en el interior del círculo $\Gamma$? Justifique su respuesta. Aiden-1089

2 Sean $\alpha$ y $\beta$ números reales positivos. Emerald realiza un viaje en el plano de coordenadas, comenzando desde el origen $(0,0)$. Cada minuto se mueve una unidad hacia arriba o una unidad hacia la derecha, restringiéndose a la región $| x-y | <2025$ en el plano de coordenadas. En el momento en que visita un punto $(x,y)$, escribe en él el entero $\lfloor x\alpha + y\beta \rfloor$. Resulta que Emerald escribió cada entero no negativo exactamente una vez. Encuentre todos los pares posibles $(\alpha, \beta)$ para los cuales tal viaje sería posible. Aiden-1089

Un tri\'angulo agujereado es un tri\'angulo equil\'atero hacia arriba de longitud de lado $n$ con $n$ agujeros triangulares unitarios hacia arriba recortados. Un diamante es un rombo unitario de $60^\circ-120^\circ$. Demuestre que un tri\'angulo agujereado $T$ se puede teselar con diamantes si y solo si se cumple la siguiente condición: Cada tri\'angulo equil\'atero hacia arriba de longitud de lado $k$ en $T$ contiene como m\'aximo $k$ agujeros, para $1\leq k\leq n$ .

Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos en una l\'inea. Para cada pol\'igono convexo $ P$ cuyos v\'ertices est\'an en $ S$ , sea $ a(P)$ el n\'umero de v\'ertices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el n\'umero de puntos de $ S$ que est\'an fuera de $ P$ . Un segmento de l\'inea, un punto y el conjunto vac\'io se consideran pol\'igonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ v\'ertices respectivamente. Demuestre que para cada n\'umero real $ x$ \n\[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\]\ndonde la suma se toma sobre todos los pol\'igonos convexos con v\'ertices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamar\'a redondo si sus elementos es el conjunto de v\'ertices de un $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el n\'umero de puntos de $ M$ que son exteriores al $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus pol\'igonos correspondientes son el conjunto vac\'io, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los dem\'as puntos que no son v\'ertices del pol\'igono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio\n\[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}.\n\]\nDemuestre que la suma de polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$

Sea $P$ un $2006$ - gono regular. Una diagonal se llama buena si sus puntos extremos dividen el borde de $P$ en dos partes, cada una compuesta por un número impar de lados de $P$ . Los lados de $P$ también se llaman buenos . Suponga que $P$ ha sido diseccionado en triángulos por $2003$ diagonales, ninguna de las cuales tiene un punto en común en el interior de $P$ . Encuentre el número máximo de triángulos isósceles que tienen dos lados buenos que podrían aparecer en tal configuración.

El alcalde de una ciudad desea establecer un sistema de transporte con al menos una línea de autobús, en la cual: - cada línea pasa por exactamente tres paradas, - cada dos líneas diferentes tienen exactamente una parada en común, - para cada dos paradas de autobús diferentes hay exactamente una línea que pasa por ambas. Determine el número de paradas de autobús en la ciudad.

En Terra Brasilis hay $n$ casas donde viven $n$ duendes, cada uno en una casa. Hay rutas de un solo sentido tales que: - cada ruta une dos casas, - en cada casa comienza exactamente una ruta, - en cada casa termina exactamente una ruta. Si una ruta va de la casa $A$ a la casa $B$, entonces diremos que la casa $B$ está al lado de la casa $A$. Esta relación no es simétrica, es decir: en esta situación, no necesariamente la casa $A$ está al lado de la casa $B$. Cada día, desde el día $1$, cada duende sale de la casa donde está y llega a la siguiente casa. Una leyenda de Terra Brasilis dice que cuando todos los duendes regresen a la posición original, el mundo se acabará. a) Demuestre que el mundo se acabará. b) Si $n = 98$, demuestre que es posible que los elfos construyan y guíen las rutas para que el mundo no se acabe antes de $300,000$ años.