Encuentre todas las funciones $R-->R$ tales que: $f(x^2) - f(y^2) + 2x + 1 = f(x + y)f(x - y)$

Demuestre que, al menos el $30$ % de los números naturales $n$ entre $1$ y $1000000$ el primer dígito de $2^n$ es $1$.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, $M$ es el punto medio del segmento $BC$. Sea $X$ el punto de la intersección de la recta $HM$ con el arco $BC$ (sin $A$) de la circunferencia circunscrita de $ABC$, sea $Y$ el punto de intersección de la recta $BH$ con el círculo, demuestre que $XY = BC$.

Tenemos $98$ cartas, en cada una escribiremos uno de los números: $1, 2, 3, 4,...., 97, 98$. Podemos ordenar las $98$ cartas, en una secuencia tal que dos números consecutivos $X$ e $Y$ y el número $X - Y$ es mayor que $48$, determine cómo y de cuántas maneras podemos hacer esta secuencia!!

Demuestra que reduciendo las dimensiones de un cuboide no podemos obtener otro cuboide con la mitad del volumen y la mitad de la superficie.

Sea $ABCD$ un cuadrado con diagonales $AC$ y $BD$ , y $P$ un punto en uno de los lados del cuadrado. Demuestra que la suma de las distancias desde P a las diagonales es constante.

Sea $n$ un cuadrado con 4 dígitos, tal que todos sus dígitos son menores que 6. Si sumamos 1 a cada dígito, el número resultante es otro cuadrado. Encuentra $n$

Un número $p$ es $perfecto$ si la suma de sus divisores, excepto $p$ es $p$ . Sea $f$ una función tal que: $f(n)=0$ , si n es perfecto $f(n)=0$ , si el último dígito de n es 4 $f(a.b)=f(a)+f(b)$ Encuentra $f(1998)$

Encuentra la suma \[1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ dígitos}}.\]

Dos triángulos isósceles con lados de longitud $x,x,a$ y $x,x,b$ ( $a \neq b$ ) tienen áreas iguales. Encuentra $x$ .