Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considera su factorización prima: define $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes solo a los primos en $Q$ . Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Demuestra que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$ , el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$ . (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$ , entonces $p(42)=3$ , $q(42)=2$ , $p(63)=3$ , $q(63)=3$ , $p(2022)=3$ , $q(2022)=1$ . )

Para cada $1\leq i\leq 9$ y $T\in\mathbb N$ , define $d_i(T)$ como el número total de veces que el dígito $i$ aparece cuando todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ inclusive se escriben en base $10$ . Demuestra que existen infinitos $T\in\mathbb N$ tales que hay precisamente dos valores distintos entre $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

Encuentra todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

Sea $a > 1$ un entero positivo y $d > 1$ un entero positivo coprimo con $a$ . Sea $x_1=1$ , y para $k\geq 1$ , define $$x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d &\text{si } a \text{ no divide a } x_k \\ x_k/a & \text{si } a \text{ divide a } x_k\n\end{cases}$$ Encuentra, en términos de $a$ y $d$ , el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primos}} (p+q)$$

Demuestre que $5^n-3^n$ no es divisible por $2^n+65$ para ningún entero positivo $n$.

Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestre que hay a lo sumo una forma (salvo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor del círculo tal que el producto de dos vecinos cualesquiera sea de la forma $x^2+x+k$ para algún entero positivo $x$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$, y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de $\angle PBC$ y $\angle PCB$, respectivamente, se encuentran en $\overline{AH}$. Sea $k$ que se encuentra con $\overline{AC}$ en $E$, $\ell$ que se encuentra con $\overline{AB}$ en $F$, y $\overline{EF}$ que se encuentra con $\overline{AH}$ en $Q$. Demuestre que cuando $P$ varía, la línea $PQ$ pasa por un punto fijo.

Sea $ABC$ un triángulo y $\ell_1,\ell_2$ dos líneas paralelas. Sea $\ell_i$ que intersecta la línea $BC,CA,AB$ en $X_i,Y_i,Z_i$ , respectivamente. Sea $\Delta_i$ el triángulo formado por la línea que pasa por $X_i$ y es perpendicular a $BC$, la línea que pasa por $Y_i$ y es perpendicular a $CA$, y la línea que pasa por $Z_i$ y es perpendicular a $AB$. Demuestre que los circuncírculos de $\Delta_1$ y $\Delta_2$ son tangentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$, sea $O$ su circuncentro, y sea $D$ un punto en el segmento $BC$. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ intersecta las líneas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ e $Y,$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersectan de nuevo en $Z \ne A$. Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY$.