Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Asuma que los puntos $Q, A, B, P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$, y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AD$, respectivamente. Demuestre que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$, la tangente del círculo $ANQ$ en el punto $A$, y la tangente al círculo $BMP$ en el punto $B$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las líneas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ se encuentran con $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X \ne A$ e $Y \ne A$ se encuentran en los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, tal que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestre que $B, C, X,$ e $Y$ son concíclicos.

Un número se llama noruego si tiene tres divisores positivos distintos cuya suma es igual a $2022$. Determine el número noruego más pequeño. (Nota: Se permite que el número total de divisores positivos de un número noruego sea mayor que $3$).

Sea $\mathbb Z_{\ge 0}$ el conjunto de los enteros no negativos, y sea $f:\mathbb Z_{\ge 0}\times \mathbb Z_{\ge 0} \to \mathbb Z_{\ge 0}$ una biyección tal que siempre que $f(x_1,y_1) > f(x_2, y_2)$ , tenemos $f(x_1+1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ y $f(x_1, y_1+1) > f(x_2, y_2+1)$ . Sea $N$ el número de pares de enteros $(x,y)$ con $0\le x,y<100$ , tal que $f(x,y)$ es impar. Encontrar los valores mínimo y máximo posibles de $N$ .

Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n \times n$ que contiene todos los enteros desde $1$ hasta $n^2$ de manera que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes se consideran adyacentes si comparten un lado común. Cada celda que es adyacente solo a celdas que contienen números más grandes se llama valle. Un camino cuesta arriba es una secuencia de una o más celdas tal que: (i) la primera celda en la secuencia es un valle, (ii) cada celda subsiguiente en la secuencia es adyacente a la celda anterior, y (iii) los números escritos en las celdas en la secuencia están en orden creciente. Encontrar, como función de $n$ , el número total más pequeño posible de caminos cuesta arriba en un cuadrado nórdico.

Lucy comienza escribiendo $s$ tuplas de enteros de tamaño $2022$ en una pizarra. Después de hacer eso, ella puede tomar cualesquiera dos tuplas (no necesariamente distintas) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla:\n\begin{align*}\n\mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\\n\mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022}))\n\end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier tupla de enteros de tamaño $2022$ en la pizarra después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el menor número posible $s$ de tuplas que ella inicialmente escribió?

Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ montones de piedras, cada uno conteniendo inicialmente una sola piedra. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elegir dos montones, tomar un número igual de piedras de cada montón y formar un nuevo montón con estas piedras. Encontrar (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se pueden obtener realizando una secuencia finita de movimientos de esta forma.

Sean $m,n \geqslant 2$ enteros, sea $X$ un conjunto con $n$ elementos, y sean $X_1,X_2,\ldots,X_m$ subconjuntos no vacíos, no necesariamente disjuntos, distintos por pares de $X$. Una función $f \colon X \to \{1,2,\ldots,n+1\}$ se llama agradable si existe un índice $k$ tal que $$\sum_{x \in X_k} f(x)>\sum_{x \in X_i} f(x) \quad \text{para todo } i \ne k.$$ Pruebe que el número de funciones agradables es al menos $n^n$.

Sea $n > 3$ un entero positivo. Suponga que $n$ niños están dispuestos en un círculo, y $n$ monedas se distribuyen entre ellos (algunos niños pueden no tener monedas). En cada paso, un niño con al menos 2 monedas puede dar 1 moneda a cada uno de sus vecinos inmediatos a la derecha e izquierda. Determine todas las distribuciones iniciales de las monedas a partir de las cuales es posible que, después de un número finito de pasos, cada niño tenga exactamente una moneda.

En cada cuadrado de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$, inicialmente hay un árbol de altura $0$. Un jardinero y un leñador alternan turnos jugando el siguiente juego, con el jardinero tomando el primer turno: El jardinero elige un cuadrado en el jardín. Cada árbol en ese cuadrado y todos los cuadrados circundantes (de los cuales hay como máximo ocho) se vuelven una unidad más altos. Luego, el leñador elige cuatro cuadrados diferentes en el tablero. Cada árbol de altura positiva en esos cuadrados se vuelve una unidad más corto. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$. Determine el $K$ más grande tal que el jardinero pueda asegurar que eventualmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador.