El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: aluminio (denotado A) y bronce (denotado B). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce dispuestas en una fila en algún orden inicial arbitrario. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo fijo $k \leq 2n$, Gilberty realiza repetidamente la siguiente operación: identifica la cadena más larga que contiene la $k^{th}$ moneda desde la izquierda y mueve todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza desde el orden $AABBBABA$ sería $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$ Encuentre todos los pares $(n,k)$ con $1 \leq k \leq 2n$ tal que para cada orden inicial, en algún momento durante el proceso, las $n$ monedas más a la izquierda serán todas del mismo tipo.

Una secuencia $\pm 1$ es una secuencia de $2022$ números $a_1, \ldots, a_{2022},$ cada uno igual a $+1$ o $-1$. Determine el mayor $C$ tal que, para cualquier secuencia $\pm 1$, existe un entero $k$ e índices $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ tal que $t_{i+1} - t_i \le 2$ para todo $i$, y $$\left| \sum_{i = 1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$$

Para un entero positivo $n$ , una $n$ - secuencia es una secuencia $(a_0,\ldots,a_n)$ de enteros no negativos que satisfacen la siguiente condición: si $i$ y $j$ son enteros no negativos con $i+j \leqslant n$ , entonces $a_i+a_j \leqslant n$ y $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Sea $f(n)$ el número de $n$ - secuencias. Demostrar que existen números reales positivos $c_1$ , $c_2$ , y $\lambda$ tales que $$c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$$ para todos los enteros positivos $n$ .

Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . ¿Podría ser el caso que, para todos los enteros positivos $k$ , $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ Encontrar todos los números racionales $q$ tales que para cada función $f\in\mathcal F$ , existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$ .

Encontrar todos los enteros positivos $n \geqslant 2$ para los cuales existen $n$ números reales $a_1<\cdots<a_n$ y un número real $r>0$ tal que las $\tfrac{1}{2}n(n-1)$ diferencias $a_j-a_i$ para $1 \leqslant i<j \leqslant n$ son iguales, en algún orden, a los números $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ .

Sea $n \geqslant 3$ un entero, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$. Sea $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$, y asuma que $s \geqslant 3$. Pruebe que existen enteros $i$ y $j$ con $1 \leqslant i<j \leqslant n$ tales que \[2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.\]

Sea $\mathbb{R}^+$ denote el conjunto de números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}^+$ , hay exactamente un $y \in \mathbb{R}^+$ que satisface $$xf(y)+yf(x) \leq 2$$

Sea $k\ge2$ un entero. Encuentra el entero más pequeño $n \ge k+1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos se puede escribir como una suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todos los enteros positivos $n$. Demuestra que $a_{2022}\leq 1$.