Un triminó es una pieza rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez de $8\times 8$ usando $21$ triminós, de tal manera que quede exactamente un cuadrado de $1\times 1$ sin cubrir? En caso de que la respuesta sea afirmativa, determine todas las posibles ubicaciones de dicho cuadrado unitario en el tablero de ajedrez.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $$a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ que pasa por $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $DC$ y $EB$ se encuentran con $\Gamma$ nuevamente en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Demuestre que las líneas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$, respectivamente, se encuentran en $AD$.

Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo se turnan alternativamente, comenzando con Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior con azul, luego Rojo selecciona un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior con rojo, de modo que los triángulos formados en cada movimiento no se intersequen internamente con los triángulos coloreados previamente. Continúan jugando hasta que no es posible elegir otro triángulo para ser coloreado. Luego, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes a ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados con azul o rojo incidentes al vértice son las mismas, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se elimina). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana el juego. Encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.\n\nNota: Dos triángulos pueden compartir vértices o lados.

Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro dígitos. Llamamos plátano power al entero positivo más pequeño $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que puede ser insertado entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determine el valor de $p(2025)$.

Dividimos el plano en cuadrados de lado 1, trazando líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Cada cuadrado está pintado de blanco o negro. A cada momento, recoloreamos simultáneamente todos los cuadrados, de acuerdo con la siguiente regla: cada cuadrado $Q$ adopta el color que más aparece en la configuración de cinco cuadrados indicada en la figura. El proceso de recoloración se repite indefinidamente. Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de cuadrados negros tal que siempre haya al menos un cuadrado negro, sin importar cuántos segundos hayan pasado desde el comienzo del proceso.

Encontrar todos los números enteros positivos $n$ tales que $[\sqrt{n}]-2$ divide a $n-4$ y $[\sqrt{n}]+2$ divide a $n+4$. Nota: $[r]$ denota la parte entera de $r$.

Daniel escribe sobre una pizarra, de arriba a abajo, una lista de números enteros positivos menores o iguales a 10. Al lado de cada número de la lista de Daniel, Martín escribe el número de veces que existe este número en la lista de Daniel, haciendo una lista con la misma longitud. Si leemos la lista de Martín de abajo hacia arriba, obtenemos la misma lista de números que Daniel escribió de arriba a abajo. Encuentra la mayor longitud que puede tener la lista de Daniel.

Sea $n$ un número natural. La secuencia finita $\alpha$ de términos enteros positivos, hay $n$ números diferentes ($\alpha$ puede tener términos repetidos). Además, si de uno de sus términos restamos 1, obtenemos una secuencia que tiene, entre sus términos, al menos $n$ números positivos diferentes. ¿Cuál es el valor mínimo de la suma de todos los términos de $\alpha$?