Dos jugadores, A y B, juegan el siguiente juego: retiran monedas de una pila que contiene inicialmente 2006 monedas. Los jugadores juegan retirando alternativamente, en cada movimiento, de 1 a 7 monedas, cada jugador se queda con las monedas que retira. Si un jugador lo desea, puede pasar (no retira ninguna moneda), pero para ello debe pagar 7 monedas de las que retiró de la pila en movimientos pasados. Estas 7 monedas se llevan a una caja separada y ya no interfieren en el juego. El ganador es el que retira la última moneda, y A comienza el juego. Determinar qué jugador puede ganar con seguridad, no importa cómo juegue el otro. Mostrar la estrategia ganadora y explicar por qué funciona.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$, respectivamente. El segmento $CE$ se encuentra con $DF$ en $O$. Demostrar que si las líneas $AO$ y $BO$ dividen el lado $CD$ en 3 partes iguales, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

Una sociedad internacional tiene miembros de seis países diferentes. La lista de miembros contiene $1978$ nombres, numerados $1, 2, \dots, 1978$. Demuestra que hay al menos un miembro cuyo número es la suma de los números de dos miembros de su propio país, o el doble del número de un miembro de su propio país.

Un entero positivo $n$ se llama $omopeiro$ si existe $n$ enteros no nulos que no son necesariamente distintos tales que $2021$ es la suma de los cuadrados de esos $n$ enteros. Por ejemplo, el número $2$ no es un $omopeiro$, porque $2021$ no es una suma de dos cuadrados no nulos, pero $2021$ es un $omopeiro$, porque $2021=1^2+1^2+ \dots +1^2$, que es una suma de $2021$ cuadrados del número $1$. Demuestra que existen más de 1500 números $omopeiro$. Nota: demostrar que existen al menos 500 números $omopeiro$ vale 2 puntos.

Hay 3 rectas $r, s$ y $t$ en un plano. Las rectas $r$ y $s$ se intersecan perpendicularmente en el punto $A$. La recta $t$ interseca la recta $r$ en el punto $B$ y la recta $s$ en el punto $C$. Existen exactamente 4 circunferencias en el plano que son simultáneamente tangentes a todas esas 3 rectas. Demuestra que el radio de una de esas circunferencias es igual a la suma del radio de las otras tres circunferencias.

Sean $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\in\mathbb{R}^+$ tales que $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=x_2^2-x_2x_3+x_3^2=x_3^2-x_3x_4+x_4^2=x_4^2-x_4x_5+x_5^2=x_5^2-x_5x_1+x_1^2$$ Demuestra que $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$.

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. La bisectriz de $BC$ interseca las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $F$ y $E$, respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ tiene centro $P$ e interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $D$ con $D$ diferente de $A$. Demuestra que la recta $PD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Esmeralda ha creado un caballo especial para jugar en tableros cuadriláteros que son idénticos a los tableros de ajedrez. Si un caballo está en un cuadrado, entonces puede moverse a otro cuadrado moviéndose 1 cuadrado en una dirección y 3 cuadrados en una dirección perpendicular (que es una diagonal de un rectángulo de $2\times4$ en lugar de $2\times3$ como en el ajedrez). En este movimiento, no aterriza en los cuadrados entre el cuadrado de inicio y el cuadrado final en el que aterriza. Un viaje de longitud $n$ del caballo es una secuencia de $n$ cuadrados $C1, C2, ..., Cn$ que son todos distintos tal que el caballo comienza en el cuadrado $C1$ y para cada $i$ de $1$ a $n-1$ puede usar el movimiento descrito antes para ir del cuadrado $Ci$ al $C(i+1)$.\nDetermina el mayor $N \in \mathbb{N}$ tal que existe un camino del caballo con longitud $N$ en un tablero de $5\times5$.

Juca ha decidido llamar a todos los enteros positivos con 8 dígitos como $sextalternados$ si es múltiplo de 30 y sus dígitos consecutivos tienen diferente paridad. Al mismo tiempo, Carlos decidió clasificar todos los $sextalternados$ que son múltiplos de 12 como $super sextalternados$. \na) Demuestra que los números $super sextalternados$ no existen.\nb) Encuentra el número $sextalternado$ más pequeño.

Sean $P,Q,R,S$ los puntos medios de los lados $BC,CD,DA,AB$ de un cuadrilátero convexo, respectivamente. Demostrar que\n$\displaystyle 4(AP^2+BQ^2+CR^2+DS^2)\le 5(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)$