Sea $ \alpha$ un número racional con $0 < \alpha < 1$ y $\cos (3 \pi \alpha) + 2\cos(2 \pi \alpha) = 0$. Demuestra que $\alpha = \frac {2}{3}$.

Encuentra el grado más alto $k$ de $1991$ para el cual $1991^k$ divide al número \[ 1990^{1991^{1992}} + 1992^{1991^{1990}}.\]

Encuentra todas las soluciones enteras positivas $x, y, z$ de la ecuación $3^x + 4^y = 5^z.$

Sea $ \,n > 6\,$ un entero y $ \,a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\,$ sean todos los números naturales menores que $ n$ y relativamente primos con $ n$ . Si \[ a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = \cdots = a_{k} - a_{k - 1} > 0, \] demuestre que $ \,n\,$ debe ser un número primo o una potencia de $ \,2$ .

Sea $ a_n$ el último dígito distinto de cero en la representación decimal del número $ n!.$ ¿La secuencia $ a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ se vuelve periódica después de un número finito de términos?

Sean $ a, b, c$ enteros y $ p$ un número primo impar. Demuestre que si $ f(x) = ax^2 + bx + c$ es un cuadrado perfecto para $ 2p - 1$ valores enteros consecutivos de $ x,$ entonces $ p$ divide a $ b^2 - 4ac.$

Dado cualquier entero $ n \geq 2,$ asuma que los enteros $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ no son divisibles por $ n$ y, además, que $ n$ no divide $ \sum^n_{i=1} a_i.$ Demuestre que existen al menos $ n$ secuencias diferentes $ (e_1, e_2, \ldots, e_n)$ que consisten en ceros o unos tal que $ \sum^n_{i=1} e_i \cdot a_i$ es divisible por $ n.$

Sea $ S = \{1,2,3,\cdots ,280\}$ . Encuentre el entero más pequeño $ n$ tal que cada subconjunto de $ S$ de $ n$ elementos contiene cinco números que son primos relativos por pares.

Demostrar que $ \sum_{k = 0}^{995} \frac {( - 1)^k}{1991 - k} {1991 - k \choose k} = \frac {1}{1991}$

Supongamos que $G$ es un grafo conectado con $k$ aristas. Demostrar que es posible etiquetar las aristas $1,2,\ldots ,k$ de tal manera que en cada vértice que pertenece a dos o más aristas, el máximo común divisor de los enteros que etiquetan esas aristas sea igual a 1. Nota: Definición de grafo. Un grafo consiste en un conjunto de puntos, llamados vértices, junto con un conjunto de aristas que unen ciertos pares de vértices distintos. Cada par de vértices $u,v$ pertenece a lo sumo a una arista. El grafo $G$ es conectado si para cada par de vértices distintos $x,y$ existe alguna secuencia de vértices $x = v_{0},v_{1},v_{2},\cdots ,v_{m} = y$ tal que cada par $v_{i},v_{i + 1}\;(0\leq i < m)$ está unido por una arista de $G$.