Encuentra todos los enteros $n$ , $n \ge 1$ , tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto.

Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones\n\[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\]\nDemuestra que $a + b + c + d \not = 0$ .

Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BCA=90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altitud desde $C$. Sea $X$ un punto en el interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK=BC$. Similarmente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL=AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demuestre que $MK=ML$.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tales que, para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$, la siguiente igualdad se cumple: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los enteros.)

El juego de adivinanzas del mentiroso es un juego jugado entre dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ los cuales son conocidos por ambos jugadores. Al inicio del juego $A$ escoge enteros $x$ y $N$ con $1 \le x \le N.$ El jugador $A$ mantiene $x$ secreto, y le dice honestamente $N$ al jugador $B$. El jugador $B$ ahora intenta obtener información sobre $x$ preguntándole al jugador $A$ preguntas de la siguiente manera: cada pregunta consiste en que $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (posiblemente uno especificado en alguna pregunta anterior), y preguntándole a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no, pero se le permite mentir tantas veces como quiera; la única restricción es que, entre cada $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una respuesta debe ser veraz. Después de que $B$ ha hecho tantas preguntas como quiere, debe especificar un conjunto $X$ de a lo sumo $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$, entonces $B$ gana; de lo contrario, pierde. Demuestre que: 1. Si $n \ge 2^k,$ entonces $B$ puede garantizar una victoria. 2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \ge (1.99)^k$ tal que $B$ no puede garantizar una victoria.

Sea $n\ge 3$ un entero, y sean $a_2,a_3,\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$. Demuestre que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

Dado un triángulo $ABC$, sea $J$ el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se intersecan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se intersecan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$. Demuestre que $M$ es el punto medio de $ST$. (El excírculo de $ABC$ opuesto al vértice $A$ es el círculo que es tangente al segmento de recta $BC$, al rayo $AB$ más allá de $B$, y al rayo $AC$ más allá de $C$.)

Los vértices del cubo están asignados $1, 2, 3..., 8$ y luego a cada arista le asignamos el producto de los números asignados a sus dos puntos extremos. Determina el mayor valor posible de la suma de los números asignados a las doce aristas del cubo.

Encuentra la constante real más pequeña $p$ para la cual se cumple la desigualdad $\sqrt{ab} - \frac{2ab}{a + b} \le p \left( \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab}\right)$ con cualquier número real positivo $a, b$.