Un cuadrado mágico es una tabla https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/9/3b1e2b2f5d2d4c486f57c4ad68b66f7d7e56dd.png en la que aparecen todos los números naturales del $1$ al $16$ y tal que: $\bullet$ todas las filas tienen la misma suma $s$ . $\bullet$ todas las columnas tienen la misma suma $s$ . $\bullet$ ambas diagonales tienen la misma suma $s$ . Se sabe que $a_{22} = 1$ y $a_{24} = 2$ . Calcular $a_{44}$ .

Dada una familia $C$ de circunferencias del mismo radio $R$ , que cubre completamente el plano (es decir, cada punto en el plano pertenece al menos a una circunferencia de la familia), demuestre que existen dos circunferencias de la familia tales que la distancia entre sus centros es menor o igual a $R\sqrt3$ .

Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y supongamos que \n\[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \]\nDemostrar que $ab + cd$ no es primo.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 60^{\circ}$ . Sea $AP$ la bisectriz de $\angle BAC$ y sea $BQ$ la bisectriz de $\angle ABC$ , con $P$ en $BC$ y $Q$ en $AC$ . Si $AB + BP = AQ + QB$ , ¿cuáles son los ángulos del triángulo?

Sea $n$ un entero impar mayor que 1 y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ , definimos $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$ . Demostrar que existen permutaciones $a \neq b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es un divisor de $S(a)-S(b)$ .

Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competencia matemática. Resultó que cada concursante resolvió a lo sumo seis problemas, y para cada par de una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demostrar que hay un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

Demostrar que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Consideremos un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que sale del vértice $A$ , y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . Asumamos que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$ . Demostrar que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$ .

Un rectángulo de $9\times 7$ está cubierto con baldosas de los dos tipos: baldosas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (se pueden rotar repetidamente con $90^\circ$ ) y baldosas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de baldosas de $2 \times 2$ que se pueden usar en tal mosaico. Encuentra todos los valores de $n$ .

Sean $AL$ y $BK$ bisectrices angulares en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ se encuentra en el lado $BC$ , $K$ se encuentra en el lado $AC$ ) . La mediatriz de $BK$ interseca a la línea $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ se encuentra en la línea $BK$ tal que $LN$ es paralela a $MK$ . Demuestra que $LN = NA$ .