Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ . Sea $D$ un punto tal que $AGDB$ es un paralelogramo. Demuestra que $BG \parallel CD$ .

Para un entero positivo $n$ , sea $S(n)$ la suma de sus dígitos decimales. Determina el entero positivo más pequeño $n$ para el cual $4 \cdot S(n)=3 \cdot S(2n)$ .

Sean $a,b,c$ enteros que satisfacen $a+b+c=1$ y $ab+bc+ca<abc$ . Demuestra que $ab+bc+ca<2abc$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=BD=DC$ y $AB \perp BD \perp DC$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ . Demuestra que $\angle BAM+\angle DCA=45^\circ$ .

¿Cuántos subconjuntos no vacíos de $\{1,2,\dots,11\}$ existen con la propiedad de que el producto de sus elementos es el cubo de un entero?

Inicialmente, los números $1$ y $2$ están escritos en el pizarrón. Un movimiento consiste en elegir un número real positivo $x$ y reemplazar $(a,b)$ en el pizarrón por $\left(a+\frac{x}{b},b+\frac{x}{a}\right)$ . ¿Es posible crear en infinitos movimientos una situación donde los números en el pizarrón sean $2$ y $3$ ?

Encuentre todos los enteros $k$ para los cuales, existe una función $f: N \to Z$ que satisface: (i) $f(1995) = 1996$ (ii) $f(xy) = f(x) + f(y) + kf(m_{xy})$ para todos los números naturales $x, y$ , donde $ m_{xy}$ denota el máximo común divisor de los números $x, y$ . Aclaración: $N = \{1,2,3,...\}$ y $Z = \{...-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Hay un tablero con $n$ filas y $4$ columnas, y fichas blancas, amarillas y celestes. El jugador $A$ coloca cuatro fichas en la primera fila del tablero y las cubre para que el jugador $B$ no las vea. ¿Cómo debe hacer el jugador $B$ para llenar el mínimo número de filas con fichas que aseguren que en cualquiera de las filas tenga al menos tres aciertos? Aclaración: Un acierto del jugador $B$ ocurre cuando coloca una ficha del mismo color y en la misma columna que $A$ .

Sea $S$ la circunferencia de centro $O$ y radio $R$ , y sean $A, A'$ dos puntos diametralmente opuestos en $S$ . Sea $P$ el punto medio de $OA'$ y $\ell$ una recta que pasa por $P$ , distinta de $AA '$ y de la perpendicular sobre $AA '$ . Sean $B$ y $C$ los puntos de intersección de $\ell$ con $S$ y sea $M$ el punto medio de $BC$ . a) Sea $H$ el pie de la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la recta $A'M$ con $AH$ . Determine el lugar geométrico del punto $D$ mientras $\ell$ varía . b) La recta $AM$ interseca a $OD$ en $I$ . Pruebe que $2 OI = ID$ y determine el lugar geométrico del punto $I$ mientras $\ell$ varía .

Los números reales $x, y, z$ , distintos en parejas satisfacen $$\begin{cases} x^2=2 + y \\ y^2=2 + z \\ z^2=2 + x.\end{cases}$$ Encuentre los posibles valores de $x^2 + y^2 + z^2$ .