Sea $Z$ el conjunto de todos los enteros. Encuentre todas las funciones $f: Z->Z$ tales que $f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ para todos los enteros $x,y$.

En un triángulo escaleno $ABC$, $I$ es el incentro y $CN$ es la bisectriz del ángulo $C$. La línea $CN$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $M$. La línea $l$ es paralela a $AB$ y toca el incírculo de $ABC$. El punto $R$ en $l$ es tal que $CI \bot IR$. La circunferencia circunscrita de $MNR$ se encuentra con la línea $IR$ nuevamente en S. Pruebe que $AS=BS$.

Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, inscrito en el círculo. Demuestre que $AC*BD*DE*CE*EA*FB \geq 27 AB * BC * CD * DE * EF * FA$.

Cada uno de $2k+1$ subconjuntos distintos de 7 elementos del conjunto de 20 elementos se interseca con exactamente $k$ de ellos. Encuentre el valor máximo posible de $k$.

Dado un número natural n tal que, para cualquier número natural $a,b$, el número $2^a3^b+1$ no es divisible por $n$. Demuestre que $2^c+3^d$ no es divisible por $n$ para cualquier natural $c$ y $d$.

Se nos da una tabla rectangular con un entero positivo escrito en cada una de sus celdas. Para cada celda de la tabla, el número en ella es igual al número total de valores diferentes en las celdas que están en la misma fila o columna (incluyéndose a sí misma). Encuentra todas las tablas con esta propiedad.

¿Existe un entero positivo $n$ tal que cuando escribimos los dígitos decimales de $2^n$ en orden opuesto, obtenemos otra potencia entera de $2$ ?

¿Cuántos enteros positivos $n<2024$ son divisibles por $\lfloor \sqrt{n}\rfloor-1$ ?

Determina los posibles ángulos interiores de triángulos isósceles que pueden ser subdivididos en dos triángulos isósceles con interior disjunto.

Entre todas las ternas $(a,b,c)$ de números naturales que satisfacen \[(a+14\sqrt{3})(b-14c\sqrt{3})=2024,\] determina aquella con el valor máximo de $a$ .