Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de números reales positivos, y $s$ un entero positivo, tal que \[a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \ \textrm{ para todo } \ n > s.\] Pruebe que existen enteros positivos $\ell \leq s$ y $N$ , tales que \[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ para todo } \ n \geq N.\]

Suponga que $f$ y $g$ son dos funciones definidas en el conjunto de los enteros positivos y que toman valores enteros positivos. Suponga también que las ecuaciones $f(g(n)) = f(n) + 1$ y $g(f(n)) = g(n) + 1$ se cumplen para todos los enteros positivos. Pruebe que $f(n) = g(n)$ para todo entero positivo $n.$

Denotemos por $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb{Q}^+ \mapsto \mathbb{Q}^+$ que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x, y \in \mathbb{Q}^+:$ \[f\left( f(x)^2y \right) = x^3 f(xy).\]

Sean $a, b$ enteros, y sea $P(x) = ax^3+bx.$ Para cualquier entero positivo $n$ decimos que el par $(a,b)$ es $n$ - bueno si $n | P(m)-P(k)$ implica $n | m - k$ para todos los enteros $m, k.$ Decimos que $(a,b)$ es $muy \ bueno$ si $(a,b)$ es $n$ - bueno para infinitos enteros positivos $n.$ (a) Encuentra un par $(a,b)$ que es 51-bueno, pero no muy bueno. (b) Demuestra que todos los pares 2010-buenos son muy buenos.

Encuentra el número más pequeño $n$ tal que existan polinomios $f_1, f_2, \ldots , f_n$ con coeficientes racionales que satisfacen \[x^2+7 = f_1\left(x\right)^2 + f_2\left(x\right)^2 + \ldots + f_n\left(x\right)^2.\]

Encuentra todos los pares $(m,n)$ de enteros no negativos para los cuales \[m^2 + 2 \cdot 3^n = m\left(2^{n+1} - 1\right).\]

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ para el cual existe un conjunto $\{s_1, s_2, \ldots , s_n\}$ que consta de $n$ enteros positivos distintos tales que \[ \left( 1 - \frac{1}{s_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{s_2} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{s_n} \right) = \frac{51}{2010}.\]

Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en la que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una secuencia de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma mod $n$ ) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demuestra que: (i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas vuelven a estar ENCENDIDAS, (ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2-1$ pasos, (iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - n + 1$ pasos.

Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$ , donde en el caso de que $A$ , $B$ , $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$ . Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos dados en el plano. Demuestra que para cualquier punto $X$ en el plano, \[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]

Algunos cuadrados de una tabla de $n \times n$ ( $n>2$ ) son negros, el resto son blancos. En cada cuadrado blanco escribimos el número de todos los cuadrados negros que tienen al menos un vértice común con él. Encuentre la suma máxima posible de todos estos números.