Sea $P$ un punto interior al triángulo $ABC$ (con $CA \neq CB$). Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ se encuentran de nuevo con su circunferencia circunscrita $\Gamma$ en $K$, $L$ y $M$ respectivamente. La recta tangente en $C$ a $\Gamma$ se encuentra con la recta $AB$ en $S$. Demostrar que de $SC = SP$ se deduce $MK = ML$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $D, E, F$ los pies de las alturas que están sobre $BC, CA, AB$ respectivamente. Uno de los puntos de intersección de la recta $EF$ y la circunferencia circunscrita es $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se encuentran en el punto $Q$. Demostrar que $AP = AQ$.

Tres arcos circulares $\gamma_1, \gamma_2,$ y $\gamma_3$ conectan los puntos $A$ y $C.$ Estos arcos se encuentran en el mismo semiplano definido por la línea $AC$ de tal manera que el arco $\gamma_2$ se encuentra entre los arcos $\gamma_1$ y $\gamma_3.$ El punto $B$ se encuentra en el segmento $AC.$ Sean $h_1, h_2$ , y $h_3$ tres rayos que comienzan en $B,$ que se encuentran en el mismo semiplano, estando $h_2$ entre $h_1$ y $h_3.$ Para $i, j = 1, 2, 3,$ denotemos por $V_{ij}$ el punto de intersección de $h_i$ y $\gamma_j$ (vea la Figura abajo). Denotemos por $\widehat{V_{ij}V_{kj}}\widehat{V_{kl}V_{il}}$ el cuadrilátero curvo, cuyos lados son los segmentos $V_{ij}V_{il},$ $V_{kj}V_{kl}$ y los arcos $V_{ij}V_{kj}$ y $V_{il}V_{kl}.$ Decimos que este cuadrilátero es $circunscrito$ si existe un círculo que toca estos dos segmentos y dos arcos. Demuestre que si los cuadriláteros curvos $\widehat{V_{11}V_{21}}\widehat{V_{22}V_{12}}, \widehat{V_{12}V_{22}}\widehat{V_{23}V_{13}},\widehat{V_{21}V_{31}}\widehat{V_{32}V_{22}}$ son circunscritos, entonces el cuadrilátero curvo $\widehat{V_{22}V_{32}}\widehat{V_{33}V_{23}}$ también es circunscrito.

Los vértices $X, Y , Z$ de un triángulo equilátero $XYZ$ se encuentran respectivamente en los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo acutángulo $ABC.$ Demuestre que el incentro del triángulo $ABC$ se encuentra dentro del triángulo $XYZ.$

$n \geq 4$ jugadores participaron en un torneo de tenis. Dos jugadores cualesquiera han jugado exactamente un partido, y no hubo empate. Llamamos $mala$ a una compañía de cuatro jugadores si un jugador fue derrotado por los otros tres jugadores, y cada uno de estos tres jugadores ganó un partido y perdió otro partido entre ellos. Suponga que no hay ninguna compañía mala en este torneo. Sean $w_i$ y $l_i$ respectivamente el número de victorias y derrotas del $i$ - ésimo jugador. Demuestre que\n\[\sum^n_{i=1} \left(w_i - l_i\right)^3 \geq 0.\]

Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ contiene inicialmente una moneda. Se permiten las siguientes operaciones\nTipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , quitar una moneda de $B_j$ y agregar dos monedas a $B_{j+1}$ ;\nTipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , quitar una moneda de $B_k$ e intercambiar el contenido (posiblemente vacío) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ .\nDetermine si existe una secuencia finita de operaciones de los tipos permitidos, tal que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contiene exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas.

2500 reyes de ajedrez deben ser colocados en un tablero de ajedrez de $100 \times 100$ de modo que\n(i) ningún rey pueda capturar a otro (es decir, no se colocan dos reyes en dos casillas que comparten un vértice);\n(ii) cada fila y cada columna contiene exactamente 25 reyes.\nEncuentra el número de tales arreglos. (Se supone que dos arreglos que difieren por rotación o simetría son diferentes.)

En algún planeta, hay $2^N$ países $(N \geq 4).$ Cada país tiene una bandera de $N$ unidades de ancho y una unidad de alto compuesta por $N$ campos de tamaño $1 \times 1,$ cada campo siendo amarillo o azul. No hay dos países con la misma bandera. Decimos que un conjunto de $N$ banderas es diverso si estas banderas se pueden organizar en un cuadrado de $N \times N$ de modo que los $N$ campos en su diagonal principal tengan el mismo color. Determine el entero positivo más pequeño $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas, existen $N$ banderas que forman un conjunto diverso.

En un concierto, 20 cantantes actuarán. Para cada cantante, hay un conjunto (posiblemente vacío) de otros cantantes tal que él desea actuar después de todos los cantantes de ese conjunto. ¿Puede ocurrir que haya exactamente 2010 órdenes de los cantantes tales que todos sus deseos se cumplan?

Dados seis números positivos $a,b,c,d,e,f$ tales que $a < b < c < d < e < f.$ Sea $a+c+e=S$ y $b+d+f=T.$ Pruebe que \[2ST > \sqrt{3(S+T)\left(S(bd + bf + df) + T(ac + ae + ce) \right)}.\]