Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Suponga que hay un entero $N > 1$ tal que, para cada $n \geq N$ , el número $$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$ es un entero. Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$ .

Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ en el plano tal que $x$ y $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales a 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan para colocar piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Un sitio ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado). Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Encuentra el mayor $K$ tal que Amy pueda asegurar que coloca al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules.

Un triángulo anti-Pascal es un arreglo triangular equilátero de números tal que, excepto por los números en la fila inferior, cada número es el valor absoluto de la diferencia de los dos números inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, el siguiente es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene cada entero de $1$ a $10$ . \[\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } \vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt} \end{array}\] ¿Existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contiene cada entero de $1$ a $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ?

Encuentra todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existen números reales $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ que satisfacen $a_{n + 1} = a_1$ , $a_{n + 2} = a_2$ y $$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$$ para $i = 1, 2, \dots, n$ .

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $AD = AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ se intersecan en los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$ respectivamente. Demuestra que las líneas $DE$ y $FG$ son paralelas o son la misma línea.

Las filas y columnas de una tabla de $2^n \times 2^n$ están numeradas de $0$ a $2^{n}-1.$ Las celdas de la tabla han sido coloreadas de tal manera que se satisface la siguiente propiedad: para cada $0 \leq i,j \leq 2^n - 1,$ la $j$ - ésima celda en la $i$ - ésima fila y la $(i+j)$ - ésima celda en la $j$ - ésima fila tienen el mismo color. (Los índices de las celdas en una fila se consideran módulo $2^n$ . ) Demostrar que el número máximo posible de colores es $2^n$ .

Hallar todas las funciones $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que $\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)$ es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}.$

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC \parallel AE,$ $AB = BC + AE,$ y $\angle ABC = \angle CDE.$ Sea $M$ el punto medio de $CE,$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $BCD.$ Dado que $\angle DMO = 90^{\circ},$ demuestre que $2 \angle BDA = \angle CDE.$

Dado un triángulo $ABC$ , con $I$ como su incentro y $\Gamma$ como su circuncírculo, $AI$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $D$ . Sea $E$ un punto en el arco $BDC$ , y $F$ un punto en el segmento $BC$ , tal que $\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC$ . Si $G$ es el punto medio de $IF$ , demuestre que el punto de encuentro de las líneas $EI$ y $DG$ se encuentra en $\Gamma$ .

Sea $A_1A_2 \ldots A_n$ un polígono convexo. Se elige un punto $P$ dentro de este polígono de tal manera que sus proyecciones $P_1, \ldots , P_n$ sobre las líneas $A_1A_2, \ldots , A_nA_1$ respectivamente se encuentren en los lados del polígono. Demuestre que para puntos arbitrarios $X_1, \ldots , X_n$ en los lados $A_1A_2, \ldots , A_nA_1$ respectivamente, \[\max \left\{ \frac{X_1X_2}{P_1P_2}, \ldots, \frac{X_nX_1}{P_nP_1} \right\} \geq 1.\]