(i) $ABC$ es un triángulo con un ángulo recto en $A$ , y $P$ es un punto en la hipotenusa $BC$ . La línea $AP$ producida más allá de $P$ se encuentra con la línea que pasa por $B$ que es perpendicular a $BC$ en $U$ . Pruebe que $BU = BA$ si, y sólo si, $CP = CA$ . (ii) $A$ es un punto en la semicircunferencia $CB$ , y los puntos $X$ e $Y$ están en el segmento de línea $BC$ . La línea $AX$ , producida más allá de $X$ , se encuentra con la línea que pasa por $B$ que es perpendicular a $BC$ en $U$ . También la línea $AY$ , producida más allá de $Y$ , se encuentra con la línea que pasa por $C$ que es perpendicular a $BC$ en $V$ . Dado que $BY = BA$ y $CX = CA$ , determine el ángulo $\angle VAU$ .

Ahmad y Salem juegan el siguiente juego. Ahmad escribe dos enteros (no necesariamente diferentes) en un tablero. Salem escribe su suma y producto. Ahmad hace lo mismo: escribe la suma y el producto de los dos números que Salem acaba de escribir. Continúan de esta manera, sin detenerse a menos que los dos jugadores escriban los mismos dos números uno tras otro (¡porque entonces están atascados!). El orden de los dos números que escribe cada jugador no es importante. Así, si Ahmad empieza escribiendo $3$ y $-2$ , los cinco primeros movimientos (o pasos) son los que se muestran: (a)\tPaso 1 (Ahmad) $3$ y $-2$ (b)\tPaso 2 (Salem) $1$ y $-6$ (c)\tPaso 3 (Ahmad) $-5$ y $-6$ (d)\tPaso 4 (Salem) $-11$ y $30$ (e)\tPaso 5 (Ahmad) $19$ y $-330$ (i)\tDescriba todos los pares de números que Ahmad podría escribir, y asegúrese de que Salem debe escribir los mismos números, y así el juego se detiene en el paso 2. (ii)\t¿Qué par de enteros debería escribir Ahmad para que el juego termine en el paso 4? (iii)\tDescriba todos los pares de enteros que Ahmad podría escribir en el paso 1, para que el juego termine después de un número finito de pasos. (iv)\tAhmad y Salem deciden cambiar el juego. El primer jugador escribe tres números en el tablero, $u, v$ y $w$ . El segundo jugador escribe entonces los tres números $u + v + w,uv + vw + wu$ y $uvw$ , y proceden como antes, turnándose, y utilizando esta nueva regla que describe cómo calcular los tres números siguientes. Si Ahmad va primero, determine todas las colecciones de tres números que puede escribir, asegurándose de que Salem tiene que escribir los mismos tres números en el siguiente paso.

Una secuencia $a_0,a_1,a_2,\cdots$ satisface las condiciones $a_0 = 0$ , $a_{n-1}^2 - a_{n-1} = a_n^2 + a_n$ 1) determine los dos valores posibles de $a_1$ . luego determine todos los valores posibles de $a_2$ . 2) para cada $n$ , pruebe que $a_{n+1}=a_n+1$ o $a_{n+1} = -a_n$ 3) Describa los valores posibles de $a_{1435}$ 4) Pruebe que los valores que obtuvo en (3) son correctos

Llamamos entero positivo alternante si cada dos dígitos consecutivos en su representación decimal son de diferente paridad. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo que es alternante.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , la diagonal $BD$ no biseca ni el ángulo $ABC$ ni el ángulo $CDA$ . El punto $P$ se encuentra dentro de $ABCD$ y satisface\n\[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{y}\quad \angle PDC=\angle BDA.\]\nDemuestre que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y sólo si $AP=CP$ .

Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$ , $t_2$ , ..., $t_n$ números reales positivos tales que\n\[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\]\nDemuestre que $t_i$ , $t_j$ , $t_k$ son longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$ , $j$ , $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$ .

Definimos un 'gancho' como una figura formada por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen de abajo, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura.\n[asy]\nunitsize(0.5 cm);\n\ndraw((0,0)--(1,0));\ndraw((0,1)--(1,1));\ndraw((2,1)--(3,1));\ndraw((0,2)--(3,2));\ndraw((0,3)--(3,3));\ndraw((0,0)--(0,3));\ndraw((1,0)--(1,3));\ndraw((2,1)--(2,3));\ndraw((3,1)--(3,3));\n[/asy] Determine todos los rectángulos $ m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos tales que\n- el rectángulo está cubierto sin huecos y sin superposiciones\n- ninguna parte de un gancho cubre un área fuera del rectángulo.

Encuentre todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ tenemos las siguientes relaciones\n\[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$ . La circunferencia de diámetro $BC$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Denotemos por $O$ el punto medio del lado $BC$ . Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se intersecan en $R$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que se encuentra en el lado $BC$ .

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB\cdot CD = BC\cdot DA$ . El punto $X$ está dentro de $ABCD$ tal que $$\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.$$ Demuestra que $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$ .