Encuentra todos los pares de enteros $ (x,y)$ , tales que \[ x^2 - 2009y + 2y^2 = 0\n\]

Para cada entero positivo $ n$ , sea $ f(n)$ el número de formas de representar $ n$ como una suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos. Las representaciones que difieren solo en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo, $ f(4) = 4$ , porque el número 4 se puede representar de las siguientes cuatro formas: 4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1. Demuestre que, para cualquier entero $ n \geq 3$ tenemos $ 2^{\frac {n^2}{4}} < f(2^n) < 2^{\frac {n^2}2}$ .

Encuentre todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .

Una matriz de $ n \times n$ cuyas entradas provienen del conjunto $ S = \{1, 2, \ldots , 2n - 1\}$ se llama matriz plateada si, para cada $ i = 1, 2, \ldots , n$ , la $ i$ -ésima fila y la $ i$ -ésima columna juntas contienen todos los elementos de $ S$ . Demuestre que: (a) no existe una matriz plateada para $ n = 1997$ ; (b) existen matrices plateadas para infinitos valores de $ n$ .

Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ para }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestre que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \]

Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño en el triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las líneas $ BV$ y $ CW$ se encuentran en $ T$ . Demuestre que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos diferentes $ A,B,C,D$ en un círculo $ \Gamma$ de manera que el triángulo $ BCD$ no sea rectángulo. Demuestre que: (a) Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las líneas $ CV$ y $ BW$ se encuentran en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos de línea $ AD, BT,$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos.

En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados están coloreados alternativamente de blanco y negro (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , se encuentran a lo largo de los lados de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ . a) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que son ambos pares o ambos impares. b) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todos los $ m$ y $ n$ . c) Demuestre que no existe una constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todos los $ m$ y $ n$ .

Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, no cuatro de los cuales son coplanarios, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ . Un árbol $\mathcal{AB}$ - es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un punto final en $\mathcal{A}$ y un punto final en $\mathcal{B}$ , y tal que ningún segmento forma una polilínea cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ - se transforma en otro de la siguiente manera: elige tres segmentos distintos $A_1B_1$ , $B_1A_2$ , y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ - tal que $A_1$ está en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$ , y elimina el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$ . Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$ - , demuestra que toda secuencia de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible ninguna otra transformación) después de un número finito de pasos.

Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ con radio $R$ . Las diagonales $A_1B_2$ , $A_2B_3$ , $A_3B_1$ son concurrentes en $X$ . Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$ . $(a)$ Demuestra que $R\geq r_1+r_2+r_3$ $(b)$ Si $R= r_1+r_2+r_3$ , demuestra que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$ , $A_2B_3$ , $A_3B_1$ son concíclicos

Los números del $1$ al $64$ deben escribirse en los pequeños cuadrados de un tablero de ajedrez, con un número diferente en cada pequeño cuadrado. Considere los $112$ números que puede hacer sumando los números en dos cuadrados pequeños que tienen un borde común. ¿Es posible escribir los números en los cuadrados de manera que estas $112$ sumas sean todas diferentes?