Sean $a, b, c, d$ números reales positivos tales que $abcd = 1$. Demuestra la desigualdad $\frac{1}{a^3 + b + c + d} + \frac{1}{a + b^3 + c + d} + \frac{1}{a + b + c^3 + d} + \frac{1}{a + b + c + d^3} \leq \frac{a+b+c+d}{4}$

Sean $a$ , $b$ dos números reales distintos y sea $c$ un número real positivo tal que $a^4 - 2019a = b^4 - 2019b = c$ . Demuestra que $- \sqrt{c} < ab < 0$.

Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos no vacíos de $X = \{1, 2, . . . , 11 \}$ con $A \cup B = X$ . Sea $P_A$ el producto de todos los elementos de $A$ y sea $P_B$ el producto de todos los elementos de $B$ . Encuentra el valor mínimo y máximo posible de $P_A +P_B$ y encuentra todos los posibles casos de igualdad.

Sean $a, b, c $ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestra que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$

Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a^3+b^3-6ab=-11$ . Demuestra que $-\frac{7}{3}<a+b<-2$ .

En una tabla de $ 17\times 17$ casillas, se colorean $ n$ casillas de negro. Llamamos línea a cualquiera de las filas, columnas o cualquiera de las dos diagonales de la tabla. En un paso, si al menos $ 6$ de las casillas en alguna línea son negras, entonces uno puede pintar todas las casillas de esta línea de negro. Encuentra el valor mínimo de $ n$ tal que para alguna disposición inicial de $ n$ casillas negras uno puede pintar todas las casillas de la tabla de negro en algunos pasos.

Dado un cuadrilátero $ ABCD$ con $ \angle B=\angle D=90^{\circ}$ . El punto $ M$ se elige en el segmento $ AB$ de manera que $ AD=AM$ . Los rayos $ DM$ y $ CB$ se intersecan en el punto $ N$ . Los puntos $ H$ y $ K$ son los pies de las perpendiculares desde los puntos $ D$ y $ C$ a las líneas $ AC$ y $ AN$ , respectivamente. Demuestra que $ \angle MHN=\angle MCK$ .

En el plano, se elige un sistema de coordenadas cartesianas. Dados los puntos $ A_1,A_2,A_3,A_4$ en la parábola $ y = x^2$ , y los puntos $ B_1,B_2,B_3,B_4$ en la parábola $ y = 2009x^2$ . Los puntos $ A_1,A_2,A_3,A_4$ son concíclicos, y los puntos $ A_i$ y $ B_i$ tienen abscisas iguales para cada $ i = 1,2,3,4$ . Demuestra que los puntos $ B_1,B_2,B_3,B_4$ también son concíclicos.

Para un hexágono convexo $ ABCDEF$ con un área $ S$ , demuestra que: \[ AC\cdot(BD+BF-DF)+CE\cdot(BD+DF-BF)+AE\cdot(BF+DF-BD)\geq 2\sqrt{3}S\n\]

Encuentra todos los reales $ a$ , tales que existe una función $ f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface la siguiente desigualdad: \[ x+af(y)\leq y+f(f(x))\n\] para todo $ x,y\in\mathbb{R}$