Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $CA$ y $BC$ respectivamente, tales que $CD = CE$. Sea $F$ un punto en el segmento $CD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABEF$ es circunscribible si y sólo si el cuadrilátero $DIEF$ es cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$. Sean $l_B$ y $l_C$ dos líneas que pasan por los puntos $B$ y $C$, respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$. Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$, respectivamente. Asuma que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$. Sea $DA$ interseca a $l_C$ en $F$ y sea $EA$ interseca a $l_B$ en $G$. Si $O$, $O_1$ y $O_2$ son circuncentros de los triángulos $ABC$, $ADG$ y $AEF$, respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$, demuestra que $l_B \parallel OP \parallel l_C$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ y $\angle B = 30^{\circ}$. La perpendicular en el punto medio $M$ de $BC$ se encuentra con la bisectriz $BK$ del ángulo $B$ en el punto $E$. La mediatriz de $EK$ se encuentra con $AB$ en $D$. Demuestra que $KD$ es perpendicular a $DE$.

Encuentra todos los enteros positivos $x, y, z$ tales que $45^x-6^y=2019^z$.

Encuentra todos los enteros $x,y$ tales que $x^3(y+1)+y^3(x+1)=19$.

Encuentra todos los números primos $p$ y enteros no negativos $x\neq y$ tales que $x^4- y^4=p(x^3-y^3)$.

Encuentra todas las ternas $(p, q, r)$ de números primos tales que todos los siguientes números son enteros $\frac{p^2 + 2q}{q+r}, \frac{q^2+9r}{r+p}, \frac{r^2+3p}{p+q}$

Sea $S$ un conjunto de $100$ números enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: 'Entre cada cuatro números de $S$, hay un número que divide a cada uno de los otros tres o hay un número que es igual a la suma de los otros tres.' Demuestra que el conjunto $S$ contiene un número que divide a los otros $99$ números de $S$.

Demuestra que para cualquier número real positivo $a, b, c$ tal que $a + b + c = ab + bc + ca$, la siguiente desigualdad se cumple $3 + \sqrt[3]{\frac{a^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+1}{2}}\leq 2(a+b+c)$

Sean $a, b, c$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad $(a^2+ac+c^2) \left( \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+c} \right)+b^2 \left( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b} \right)>a+b+c$