Dado un hexágono convexo $ABCDEF$ con $AB \parallel DE$ , $BC \parallel EF$ y $CD \parallel FA$ . La distancia entre las líneas $AB$ y $DE$ es igual a la distancia entre las líneas $BC$ y $EF$ y a la distancia entre las líneas $CD$ y $FA$ . Demuestra que la suma $AD+BE+CF$ no excede el perímetro del hexágono $ABCDEF$ .

Se da un trinomio cuadrático $p(x)$ con coeficientes reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que la ecuación $p(x) = \frac{1}{n}$ no tiene raíces racionales.

Sean $a, b, c$ y $d$ números reales positivos tales que $abcd = 1$ . Demuestra que \n\[\frac{(a-1)(c+1)}{1+bc+c} + \frac{(b-1)(d+1)}{1+cd+d} + \frac{(c-1)(a+1)}{1+da+a} + \frac{(d-1)(b+1)}{1+ab+b} \geq 0.\]

Encuentra todos los enteros positivos impares $n>1$ tales que existe una permutación $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ de los números $1, 2,3, \ldots, n$ donde $n$ divide a uno de los números $a_k^2 - a_{k+1} - 1$ y $a_k^2 - a_{k+1} + 1$ para cada $k$ , $1 \leq k \leq n$ (asumimos $a_{n+1}=a_1$ ) .

Dado un trapecio $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) con $\angle ABC > 90^\circ$ . Se elige un punto $M$ en el lado lateral $AB$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $MAD$ y $MBC$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $MO_1D$ y $MO_2C$ se intersectan nuevamente en el punto $N$ . Demuestra que la línea $O_1O_2$ pasa por el punto $N$ .

Encuentra todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$, $y$ y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

Encuentra todos los cuadrados perfectos $n$ tales que si el entero positivo $a\ge 15$ es algún divisor de $n$ entonces $a+15$ es una potencia prima.

$a,b,c$ son enteros no negativos. Resuelve: $a!+5^b=7^c$

Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$. Las líneas $AP, BP$ y $CP$ intersecan nuevamente las circunferencias circunscritas de los triángulos $PBC, PCA$ y $PAB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Demuestra que $P$ es el ortocentro del triángulo $DEF$ si y sólo si $P$ es el incentro del triángulo $ABC$.

El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$. La mediatriz del lado $BC$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$, respectivamente. Demuestra que las líneas $HM$ y $AN$ se encuentran en la circunferencia circunscrita de $ABC$.