Una ciudad tiene una red de carreteras que consta enteramente de calles de un solo sentido que se utilizan para las rutas de autobús. A lo largo de estas rutas, se han establecido paradas de autobús. Si las señales de un solo sentido permiten viajar desde la parada de autobús $X$ hasta la parada de autobús $Y \neq X$, entonces diremos que se puede llegar a $Y$ desde $X$. Usaremos la frase '$Y$ viene después de $X$' cuando deseemos expresar que cada parada de autobús desde la que se puede llegar a la parada de autobús $X$ es una parada de autobús desde la que se puede llegar a la parada de autobús $Y$, y cada parada de autobús a la que se puede llegar desde $Y$ también se puede llegar desde $X$. Un visitante de esta ciudad descubre que si $X$ e $Y$ son dos paradas de autobús diferentes, entonces las dos oraciones '$Y$ se puede alcanzar desde $X$' y '$Y$ viene después de $X$' tienen exactamente el mismo significado en esta ciudad. Sean $A$ y $B$ dos paradas de autobús. Demuestre que de las siguientes dos afirmaciones, exactamente una es verdadera: (i) $B$ se puede alcanzar desde $A$; (ii) $A$ se puede alcanzar desde $B.$

Supongamos que tenemos un paquete de $2n$ cartas, en el orden $1, 2, . . . , 2n$. Una mezcla perfecta de estas cartas cambia el orden a $n+1, 1, n+2, 2, . . ., n- 1, 2n, n$; es decir, las cartas que originalmente estaban en las primeras $n$ posiciones se han movido a los lugares $2, 4, . . . , 2n$, mientras que las $n$ cartas restantes, en su orden original, llenan las posiciones impares $1, 3, . . . , 2n - 1.$ Supongamos que comenzamos con las cartas en el orden anterior $1, 2, . . . , 2n$ y luego aplicamos sucesivamente mezclas perfectas. ¿Qué condiciones sobre el número $n$ son necesarias para que las cartas eventualmente vuelvan a su orden original? Justifique su respuesta.\nObservación. Este problema es trivial. Alternativamente, se puede requerir encontrar el número mínimo de mezclas después de las cuales las cartas volverán al orden original.

Sean $x_1, x_2,\cdots, x_n$, $n$ enteros. Sea $n = p + q$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Para $i = 1, 2, \cdots, n$, coloque\n\[S_i = x_i + x_{i+1} +\cdots + x_{i+p-1} \text{ y } T_i = x_{i+p} + x_{i+p+1} +\cdots + x_{i+n-1}\]\n(se asume que $x_{i+n }= x_i$ para todo $i$ ). Luego, sea $m(a, b)$ el número de índices $i$ para los cuales $S_i$ deja el residuo $a$ y $T_i$ deja el residuo $b$ al dividir por $3$, donde $a, b \in \{0, 1, 2\}$. Demuestre que $m(1, 2)$ y $m(2, 1)$ dejan el mismo residuo cuando se dividen por $3$.

Sean $ a, b, c$ enteros positivos para los cuales $ abc = 1$ . Demuestre que $ \sum \frac{1}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$ .

Sean $ A_1A_2$ la línea tangente externa a los círculos que no se intersecan $ \omega_1(O_1)$ y $ \omega_2(O_2)$ , $ A_1\in\omega_1$ , $ A_2\in\omega_2$ . El punto $ K$ es el punto medio de $ A_1A_2$ . Y $ KB_1$ y $ KB_2$ son líneas tangentes a $ \omega_1$ y $ \omega_2$ , respectivamente ( $ B_1\neq A_1$ , $ B_2\neq A_2$ ). Las líneas $ A_1B_1$ y $ A_2B_2$ se encuentran en el punto $ L$ , y las líneas $ KL$ y $ O_1O_2$ se encuentran en el punto $ P$ . Demuestre que los puntos $ B_1,B_2,P$ y $ L$ son concíclicos.

Para cada entero positivo $ n$ , denote por $ S(n)$ la suma de todos los dígitos en la representación decimal de $ n$ . Encuentre todos los enteros positivos $ n$ , tales que $ n=2S(n)^3+8$ .

Sea $ A = \{(a_1,\dots,a_8)|a_i\in\mathbb{N}$ , $ 1\leq a_i\leq i + 1$ para cada $ i = 1,2\dots,8\}$ . Un subconjunto $ X\subset A$ se llama disperso si para cada dos elementos distintos $ (a_1,\dots,a_8)$ , $ (b_1,\dots,b_8)\in X$ , existe al menos tres índices $ i$ , tales que $ a_i\neq b_i$ . Encuentre el número máximo posible de elementos en un subconjunto disperso del conjunto $ A$ .

Un polinomio $ P(x)$ con coeficientes enteros se llama bueno, si se puede representar como una suma de cubos de varios polinomios (en la variable $ x$ ) con coeficientes enteros. Por ejemplo, los polinomios $ x^3 - 1$ y $ 9x^3 - 3x^2 + 3x + 7 = (x - 1)^3 + (2x)^3 + 2^3$ son buenos. a) ¿Es el polinomio $ P(x) = 3x + 3x^7$ bueno? b) ¿Es el polinomio $ P(x) = 3x + 3x^7 + 3x^{2008}$ bueno? Justifique sus respuestas.

Los puntos $ K,L,M,N$ son respectivamente los puntos medios de los lados $ AB,BC,CD,DA$ en un cuadrilátero convexo $ ABCD$ . La línea $ KM$ se encuentra con las diagonales $ AC$ y $ BD$ en los puntos $ P$ y $ Q$ , respectivamente. La línea $ LN$ se encuentra con las diagonales $ AC$ y $ BD$ en los puntos $ R$ y $ S$ , respectivamente. Demuestre que si $ AP\cdot PC=BQ\cdot QD$ , entonces $ AR\cdot RC=BS\cdot SD$ .

Una tabla de $10 \times 10$ consta de $100$ celdas unitarias. Un bloque es un cuadrado de $2 \times 2$ que consta de $4$ celdas unitarias de la tabla. Un conjunto $C$ de $n$ bloques cubre la tabla (es decir, cada celda de la tabla está cubierta por algún bloque de $C$ ) pero ningún $n -1$ bloques de $C$ cubren la tabla. Encuentra el mayor valor posible de $n$ .