Sea $A$ un conjunto infinito de enteros positivos tal que cada $n \in A$ es el producto de a lo sumo $1987$ números primos. Demuestre que existe un conjunto infinito $B \subset A$ y un número $p$ tal que el máximo común divisor de cualesquiera dos números distintos en $B$ es $p$.

¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que cada entero no negativo $n$ es igual a $p(k,m)$ para uno y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos?

Sea $S \subset [0, 1]$ un conjunto de 5 puntos con $\{0, 1\} \subset S$. La gráfica de una función real $f : [0, 1] \to [0, 1]$ es continua y creciente, y es lineal en cada subintervalo $I$ en $[0, 1]$ tal que los puntos finales pero no los puntos interiores de $I$ están en $S$. Queremos calcular, usando una computadora, los valores extremos de $g(x, t) = \frac{f(x+t)-f(x)}{ f(x)-f(x-t)}$ para $x - t, x + t \in [0, 1]$. ¿En cuántos puntos $(x, t)$ es necesario calcular $g(x, t)$ con la computadora?

En un sistema de coordenadas cartesianas, el círculo $C_1$ tiene centro $O_1(-2, 0)$ y radio $3$ . Denote el punto $(1, 0)$ por $A$ y el origen por $O$ . Demuestra que existe una constante $c > 0$ tal que para toda $X$ que es exterior a $C1$ , \[OX- 1 \geq c \min\{AX,AX^2\}.\] Encuentra la $c$ más grande posible.

En el conjunto de $20$ elementos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, A, B, C, D, J, K, L, U, X, Y , Z\}$ hemos hecho una secuencia aleatoria de $28$ lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad de que la secuencia $CUBA \ JULY \ 1987$ aparezca en este orden en la secuencia ya lanzada?

Determina el menor valor posible del número natural $n$ tal que $n!$ termina en exactamente $1987$ ceros.

Sea $f : (0,+\infty) \to \mathbb R$ una función que tiene la propiedad de que $f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$ para toda $x > 0.$ Demuestra que existe una función $u : [1,+\infty) \to \mathbb R$ que satisface $u\left(\frac{x+\frac 1x }{2} \right) = f(x)$ para toda $x > 0.$

Sea $f$ una función que satisface las siguientes condiciones: $(i)$ Si $x > y$ y $f(y) - y \geq v \geq f(x) - x$ , entonces $f(z) = v + z$ , para algún número $z$ entre $x$ e $y$ . $(ii)$ La ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución, y entre las soluciones de esta ecuación, hay una que no es menor que todas las demás soluciones; $(iii)$ $f(0) = 1$ . $(iv)$ $f(1987) \leq 1988$ . $(v)$ $f(x)f(y) = f(xf(y) + yf(x) - xy)$ . Encuentra $f(1987)$ .

Sean tres círculos $K_1,K_2,K_3$ con centros $O_1,O_2,O_3$ respectivamente, que se encuentran en un punto común $P$. Además, sea $K_1 \cap K_2 = \{P,A\}, K_2 \cap K_3 = \{P,B\}, K_3 \cap K_1 = \{P,C\}$. Dado un punto arbitrario $X$ en $K_1$, una $X$ a $A$ para encontrarse con $K_2$ nuevamente en $Y$, y una $X$ a $C$ para encontrarse con $K_3$ nuevamente en $Z.$ (a) Demuestre que los puntos $Z,B, Y$ son colineales. (b) Demuestre que el área del triángulo $XY Z$ es menor o igual a $4$ veces el área del triángulo $O_1O_2O_3.$

Sean $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ números reales positivos. Pruebe que\n\[(a_1b_2 + a_2b_1 + a_1b_3 + a_3b_1 + a_2b_3 + a_3b_2)^2 \geq 4(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1)(b_1b_2 + b_2b_3 + b_3b_1)\]\ny demuestre que los dos lados de la desigualdad son iguales si y sólo si $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}.$