Una pantalla de lámpara es parte de la superficie de un cono circular recto cuyo eje es vertical. Sus bordes superior e inferior son dos círculos horizontales. Se seleccionan dos puntos en el círculo superior más pequeño y cuatro puntos en el círculo inferior más grande. Cada uno de estos seis puntos tiene tres de los otros que son sus vecinos más cercanos a una distancia $d$ de él. Por distancia se entiende la distancia más corta medida sobre la superficie curva de la pantalla de la lámpara. Demuestre que el área de la pantalla de la lámpara es $d^2(2\theta + \sqrt 3)$ donde $\cot \frac {\theta}{2} = \frac{3}{\theta}.$

Encuentre, con prueba, el punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ para el cual $BL^2+CM^2+AN^2$ es un mínimo, donde $L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente.

Sea $p_n(k)$ el número de permutaciones del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que tienen exactamente $k$ puntos fijos. Demuestre que $\sum_{k=0}^nk p_n(k)=n!$ .

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demuestra que para cada entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$.

¿Cuántas palabras con $n$ dígitos se pueden formar a partir del alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, si los dígitos vecinos deben diferir en exactamente uno?

Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$. Demuestra la desigualdad\n\[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\]\n¿En qué casos se cumple la igualdad?

Considera el número $\alpha$ obtenido al escribir uno tras otro las representaciones decimales de $1, 1987, 1987^2, \dots$ a la derecha del punto decimal. Demuestra que $\alpha$ es irracional.

Sea $ABC$ un triángulo. Para cada punto $M$ que pertenece al segmento $BC$, denotamos por $B'$ y $C'$ las proyecciones ortogonales de $M$ sobre las rectas $AC$ y $BC$. Encuentra los puntos $M$ para los cuales la longitud del segmento $B'C'$ es mínima.

Sean $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3$ nueve números reales estrictamente positivos. Definimos \[S_1 = a_1b_2c_3, \quad S_2 = a_2b_3c_1, \quad S_3 = a_3b_1c_2;\] \[T_1 = a_1b_3c_2, \quad T_2 = a_2b_1c_3, \quad T_3 = a_3b_2c_1.\] Suponga que el conjunto $\{S1, S2, S3, T1, T2, T3\}$ tiene a lo sumo dos elementos. Demuestre que \[S_1 + S_2 + S_3 = T_1 + T_2 + T_3.\]

Dados $n$ números reales $0 < t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_n < 1$, demuestre que \[(1-t_n^2) \left( \frac{t_1}{(1-t_1^2)^2}+\frac{t_2}{(1-t_2^3)^2}+\cdots +\frac{t_n}{(1-t_n^{n+1})^2} \right) < 1.\]