Demostrar que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$, entonces $\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N $

Resolver la ecuación $28^x = 19^y +87^z$, donde $x, y, z$ son enteros.

Construir un triángulo $ABC$ dado su lado $a = BC$, su circunradio $R \ (2R \geq a)$, y la diferencia $\frac{1}{k} = \frac{1}{c}-\frac{1}{b}$, donde $c = AB$ y $ b = AC.$

Considerar el $1987$ - gono regular $A_1A_2 . . . A_{1987}$ con centro $O$ . Mostrar que la suma de vectores pertenecientes a cualquier subconjunto propio de $M = \{OA_j | j = 1, 2, . . . , 1987\}$ es distinta de cero.

¿Es posible colocar $1987$ puntos en el plano euclidiano de tal manera que la distancia entre cada par de puntos sea irracional y cada tres puntos determinen un triángulo no degenerado con área racional?

En un torneo de ajedrez hay $n \geq 5$ jugadores, y ya han jugado $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +2$ juegos (cada par ha jugado entre sí como máximo una vez). (a) Demostrar que hay cinco jugadores $a, b, c, d, e$ para los cuales los pares $ab, ac, bc, ad, ae, de$ ya han jugado. (b) ¿Es también válido el enunciado para los $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +1$ juegos jugados? Hacer la prueba por inducción sobre $n.$

Encontrar, con prueba, el número real más pequeño $C$ con la siguiente propiedad: Para cada secuencia infinita $\{x_i\}$ de números reales positivos tales que $x_1 + x_2 +\cdots + x_n \leq x_{n+1}$ para $n = 1, 2, 3, \cdots$ , tenemos \[\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n} \leq C \sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n} \qquad \forall n \in \mathbb N.\]

Demostrar que si $x, y, z$ son números reales tales que $x^2+y^2+z^2 = 2$ , entonces \[x + y + z \leq xyz + 2.\]

Números $d(n,m)$ , con $m, n$ enteros, $0 \leq m \leq n$ , se definen por $d(n, 0) = d(n, n) = 0$ para todo $n \geq 0$ y\n$md(n,m) = md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1) \text{ para todo } 0 < m < n.$\nDemuestre que todos los $d(n,m)$ son enteros.

Demuestre que si la ecuación $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ tiene todas sus raíces reales, entonces $ab \leq 0.$