Sean $2n + 3$ puntos dados en el plano de tal manera que no tres estén en una línea y no cuatro estén en un círculo. Demuestra que el número de círculos que pasan por tres de estos puntos y contienen exactamente $n$ puntos interiores no es menor que $\frac 13 \binom{2n+3}{2}.$

Encuentra las soluciones enteras de la ecuación \[ \left[ \sqrt{2m} \right] = \left[ n(2+\sqrt 2) \right] \]

Sean $n$ puntos dados arbitrariamente en el plano, no tres de ellos colineales. Tracemos segmentos entre pares de estos puntos. ¿Cuál es el número mínimo de segmentos que pueden ser coloreados de rojo de tal manera que entre cualesquiera cuatro puntos, tres de ellos estén conectados por segmentos que formen un triángulo rojo?

La línea perpendicular emitida desde el centro de la circunferencia circunscrita a la bisectriz del ángulo $C$ en un triángulo $ABC$ divide el segmento de la bisectriz dentro de $ABC$ en dos segmentos con una razón de longitudes $\lambda$ . Dados $b = AC$ y $a = BC$ , halle la longitud del lado $c.$

Sea $A$ un conjunto de polinomios con coeficientes reales y que satisfagan las siguientes condiciones: (i) si $f \in A$ y $\deg( f ) \leq 1$ , entonces $f(x) = x - 1$ ; (ii) si $f \in A$ y $\deg( f ) \geq 2$ , entonces o bien existe $g \in A$ tal que $f(x) = x^{2+\deg(g)} + xg(x) -1$ o bien existen $g, h \in A$ tal que $f(x) = x^{1+\deg(g)}g(x) + h(x)$ ; (iii) para todo $g, h \in A$ , tanto $x^{2+\deg(g)} + xg(x) -1$ como $x^{1+\deg(g)}g(x) + h(x)$ pertenecen a $A.$ Sea $R_n(f)$ el resto de la división euclídea del polinomio $f(x)$ por $x^n$ . Demuestre que para todo $f \in A$ y para todo número natural $n \geq 1$ tenemos $R_n(f)(1) \leq 0$ , y que si $R_n(f)(1) = 0$ entonces $R_n(f) \in A$

Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$ , y cada esfera toca el cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca el cono $C$ , ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los posibles valores de $n$ ?

Se extraen sucesivamente y al azar cinco números distintos del conjunto $\{1, \cdots , n\}$ . Demuestre que la probabilidad de una extracción en la que los tres primeros números, así como los cinco números, puedan ordenarse para formar una progresión aritmética es mayor que $\frac{6}{(n-2)^3}$

Un juego consiste en empujar una piedra plana a lo largo de una secuencia de casillas $S_0, S_1, S_2, . . .$ que están dispuestas en orden lineal. La piedra se coloca inicialmente en la casilla $S_0$ . Cuando la piedra se detiene en una casilla $S_k$ , se vuelve a empujar en la misma dirección, y así sucesivamente, hasta que llega a $S_{1987}$ o la sobrepasa; entonces el juego se detiene. Cada vez que se empuja la piedra, la probabilidad de que avance exactamente $n$ casillas es $\frac{1}{2^n}$ . Determine la probabilidad de que la piedra se detenga exactamente en la casilla $S_{1987}.$

¿Existe un conjunto $M$ en el espacio euclidiano usual tal que para cada plano $\lambda$ la intersección $M \cap \lambda$ es finita y no vacía?

(a) Sea $\gcd(m, k) = 1$ . Demostrar que existen enteros $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ tales que cada producto $a_ib_j$ ( $i = 1, 2, \cdots ,m;\ j = 1, 2, \cdots, k$ ) da un residuo diferente cuando se divide por $mk.$ (b) Sea $\gcd(m, k) > 1$ . Demostrar que para cualquier entero $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ deben haber dos productos $a_ib_j$ y $a_sb_t$ ( $(i, j) \neq (s, t)$ ) que dan el mismo residuo cuando se dividen por $mk.$