Demuestre que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que cualquier progresión aritmética con $10$ términos en el conjunto $M$ no es monocromática. Formulación alternativa Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ . Demuestre que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en cada conjunto de $10$ términos de $M$ que forman una progresión aritmética.

Dado un triángulo no equilátero $ABC$, con los vértices listados en sentido antihorario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de los triángulos equiláteros $A'B'C'$ (con los vértices listados en sentido antihorario) para los cuales las ternas de puntos $A,B', C'; A',B, C';$ y $A',B', C$ son colineales.

La función $F$ es una transformación uno a uno del plano en sí misma que transforma rectángulos en rectángulos (los rectángulos son cerrados; no se asume continuidad). Demuestre que $F$ transforma cuadrados en cuadrados.

Sean $P,Q,R$ polinomios con coeficientes reales, que satisfacen $P^4+Q^4 = R^2$. Demuestra que existen números reales $p, q, r$ y un polinomio $S$ tales que $P = pS, Q = qS$ y $R = rS^2$.

En el sistema de coordenadas en el plano consideramos un polígono convexo $W$ y líneas dadas por las ecuaciones $x = k, y = m$, donde $k$ y $m$ son enteros. Las líneas determinan una teselación del plano con cuadrados unitarios. Decimos que la frontera de $W$ intersecta un cuadrado si la frontera contiene un punto interior del cuadrado. Demuestra que la frontera de $W$ intersecta a lo sumo $4 \lceil d \rceil$ cuadrados unitarios, donde $d$ es la distancia máxima de los puntos que pertenecen a $W$ (i.e., el diámetro de $W$) y $\lceil d \rceil$ es el entero más pequeño no menor que $d.$

Halla el número de particiones del conjunto $\{1, 2, \cdots, n\}$ en tres subconjuntos $A_1,A_2,A_3$, algunos de los cuales pueden estar vacíos, tales que se satisfacen las siguientes condiciones:\n$(i)$ Después de que los elementos de cada subconjunto hayan sido colocados en orden ascendente, cada dos elementos consecutivos de cualquier subconjunto tienen diferente paridad.\n$(ii)$ Si $A_1,A_2,A_3$ son todos no vacíos, entonces en exactamente uno de ellos el número mínimo es par.

A través de un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ se dibujan las líneas $l, m$ y $n$ perpendiculares respectivamente a $AP,BP,CP$. Demuestra que si $l$ intersecta la línea $BC$ en $Q$, $m$ intersecta $AC$ en $R$, y $n$ intersecta $AB$ en $S$, entonces los puntos $Q, R$ y $S$ son colineales.

Dados cinco números reales $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$, demuestra que siempre es posible encontrar cinco números reales $v_0, v_1, v_2, v_3, v_4$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$(i)$ $u_i-v_i \in \mathbb N, \quad 0 \leq i \leq 4$\n$(ii)$ $\sum_{0 \leq i<j \leq 4} (v_i - v_j)^2 < 4.$

Consideremos un polígono variable con $2n$ lados ( $n \in N$ ) en un círculo fijo tal que $2n - 1$ de sus lados pasan por $2n - 1$ puntos fijos que se encuentran en una línea recta $\Delta$ . Demuestra que el último lado también pasa por un punto fijo que se encuentra en $\Delta .$

Sean $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n$ sean $n$ números reales tales que $\sin \theta_1+\sin \theta_2+\cdots+\sin \theta_n=0$ . Demuestra que \[|\sin \theta_1+2 \sin \theta_2+\cdots +n \sin \theta_n| \leq \left[ \frac{n^2}{4} \right]\]