Calcular $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a_k^2$ donde $a_k$ son los coeficientes en la expansión $$(1- \sqrt 2 x +x^2)^n =\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k.$$

Sean $l, l'$ dos rectas en el espacio $3$ - dimensional y sean $A,B,C$ tres puntos tomados en $l$ con $B$ como punto medio del segmento $AC$. Si $a, b, c$ son las distancias de $A,B,C$ desde $l'$, respectivamente, demuestre que $b \leq \sqrt{ \frac{a^2+c^2}{2}}$ , la igualdad se cumple si $l, l'$ son paralelas.

Sea $PQ$ un segmento de recta de longitud constante $\lambda$ tomado en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con el orden $B,P,Q,C$, y sean las rectas que pasan por $P$ y $Q$ paralelas a los lados laterales que se encuentran con $AC$ en $P_1$ y $Q_1$ y $AB$ en $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los trapecios $PQQ_1P_1$ y $PQQ_2P_2$ es independiente de la posición de $PQ$ en $BC$.

Se da que $x = -2272$, $y = 10^3+10^2c+10b+a$, y $z = 1$ satisfacen la ecuación $ax + by + cz = 1$, donde $a, b, c$ son enteros positivos con $a < b < c$. Encuentre $y.$

Se da que $a_{11}, a_{22}$ son números reales, que $x_1, x_2, a_{12}, b_1, b_2$ son números complejos, y que $a_{11}a_{22}=a_{12}\overline{a_{12}}$ (Donde $\overline{a_{12}}$ es el conjugado de $a_{12}$ ) . Consideramos el siguiente sistema en $x_1, x_2$ : \[\overline{x_1}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2) = b_1,\] \[\overline{x_2}(a_{12}x_1 + a_{22}x_2) = b_2.\] (a) Dé una condición para que el sistema sea consistente. (b) Dé una condición para que $\arg x_1 - \arg x_2 = 98^{\circ}.$

Encuentre, con argumento, las soluciones enteras de la ecuación \[3z^2 = 2x^3 + 385x^2 + 256x - 58195.\]

Las bisectrices de los ángulos $B,C$ de un triángulo $ABC$ intersectan los lados opuestos en $B', C'$ respectivamente. Demuestre que la línea recta $B'C'$ intersecta el círculo inscrito en dos puntos diferentes.

Para cualquier entero $r \geq 1$, determine el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0 \ ; 1 \leq x \leq y$, tales que $a + x, a + y, a + x + y$ pertenecen a la misma clase.

Dos cuerpos móviles $M_1,M_2$ se desplazan uniformemente sobre dos líneas rectas coplanarias. Describa la unión de todas las líneas rectas $M_1M_2.$

Sea $n$ un número natural. Resuelva en enteros la ecuación \[x^n + y^n = (x - y)^{n+1}.\]