Sea $f(x)$ una función periódica de periodo $T > 0$ definida sobre $\mathbb R$ . Su primera derivada es continua en $\mathbb R$ . Demostrar que existen $x, y \in [0, T )$ tales que $x \neq y$ y \[f(x)f'(y)=f'(x)f(y).\]

¿Es posible cubrir un rectángulo de dimensiones $m \times n$ con ladrillos que tienen la forma angular de trimino (una disposición de tres cuadrados unitarios que forman la letra $\text L$ ) si:\n(a) $m \times n = 1985 \times 1987;$\n(b) $m \times n = 1987 \times 1989 \quad ?$

A cada número natural $k, k \geq 2$ , le corresponde una secuencia $a_n(k)$ de acuerdo con la siguiente regla: \[a_0 = k, \qquad a_n = \tau(a_{n-1}) \quad \forall n \geq 1,\] en la que $\tau(a)$ es el número de diferentes divisores de $a$ . Encontrar todos los $k$ para los cuales la secuencia $a_n(k)$ no contiene el cuadrado de un entero.

En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $L$ y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $N$ . Desde $L$ se dibujan perpendiculares a $AB$ y $AC$ , con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales.

Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$ , entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$ .

Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $\beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ podemos construir un triángulo y que su área no es mayor que \n\[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\]

Si $a, b, c, d$ son números reales tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$ , encuentre el máximo de la expresión \n\[(a + b)^4 + (a + c)^4 + (a + d)^4 + (b + c)^4 + (b + d)^4 + (c + d)^4.\]

En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja es miembro de la misma camarilla, pero para cada otro par de personas hay exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestre que si $n \geq 4$ , entonces $k \geq 2n$ .

Las corridas de un número decimal son sus bloques crecientes o decrecientes de dígitos. Así $024379$ tiene tres corridas : $024, 43$ , y $379$. Determine el número promedio de corridas para un número decimal en el conjunto $\{d_1d_2 \cdots d_n | d_k \neq d_{k+1}, k = 1, 2,\cdots, n - 1\}$ , donde $n \geq 2.$

Sea $r > 1$ un número real, y sea $n$ el entero más grande menor que $r$. Considere un número real arbitrario $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$. Por una expansión en base - $r$ de $x$ entendemos una representación de $x$ en la forma $$x=\frac{a_1}{r} + \frac{a_2}{r^2}+ \frac{a_3}{r^3}+\cdots$$ donde los $a_i$ son enteros con $0 \leq a_i < r.$ Puede asumir sin prueba que todo número $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$ tiene al menos una expansión en base - $r$. Demuestre que si $r$ no es un entero, entonces existe un número $p$ , $0 \leq p \leq \frac{n}{r-1}$ , que tiene infinitas expansiones distintas en base - $r$.