Considera fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestra que para cada entero positivo $n$ , existe tal fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Muestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .

Encuentra todos los enteros $n$ para los cuales cada celda de la tabla $n \times n$ se puede llenar con una de las letras $I, M$ y $O$ de tal manera que: en cada fila y cada columna, un tercio de las entradas son $I$, un tercio son $M$ y un tercio son $O$; y en cualquier diagonal, si el número de entradas en la diagonal es un múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas son $I$, un tercio son $M$ y un tercio son $O$. Nota. Las filas y columnas de una tabla de $n \times n$ están etiquetadas de $1$ a $n$ en un orden natural. Por lo tanto, cada celda corresponde a un par de enteros positivos $(i, j)$ con $1 \le i, j \le n$. Para $n>1$, la tabla tiene $4n-2$ diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consta de todas las celdas $(i, j)$ para las cuales $i+j$ es una constante, y la diagonal de este segundo tipo consta de todas las celdas $(i, j)$ para las cuales $i-j$ es constante.

Sea $n$ un entero positivo relativamente primo con $6$. Pintamos los vértices de un $n$ - gono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Demuestra que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de diferentes colores.

Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos de $n$. Sea $\tau_1(n)$ el número de divisores positivos de $n$ que tienen restos $1$ cuando se dividen por $3$. Encuentre todos los valores integrales positivos de la fracción $\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}$.

Para cualquier entero positivo $k$, denotamos la suma de los dígitos de $k$ en su representación decimal por $S(k)$. Encuentre todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para cualquier entero positivo $n \geq 2016$, el entero $P(n)$ es positivo y $$S(P(n)) = P(S(n)).$$

Demuestre que para cada número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para cada número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más fácil: Encuentre $r$ como una raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros.

Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier $a \in [0, 1]$ y cualquier entero positivo $n,$ \[a^k(1 - a)^n < \frac{1}{(n+1)^3}.\]

Dadas dos sucesiones de números positivos $\{a_k\}$ y $\{b_k\} \ (k \in \mathbb N)$ tales que: (i) $a_k < b_k,$ (ii) $\cos a_kx + \cos b_kx \geq -\frac 1k $ para todo $k \in \mathbb N$ y $x \in \mathbb R,$ demuestre la existencia de $\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}$ y encuentre este límite.

Sean $a_k$ números positivos tales que $a_1 \geq 1$ y $a_{k+1} -a_k \geq 1 \ (k = 1, 2, . . . )$ . Demostrar que para cada $n \in \mathbb N,$ \[\sum_{k=1}^{1987}\frac{1}{a_{k+1} \sqrt[1987]{a_k}} <1987\]

¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ , tal que $f(f(n)) =n + 1987$ para cada número natural $n$ ?