Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ puntos en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$ respectivamente, tales que $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ son las bisectrices internas del triángulo $ABC$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $H$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$. Demuestre que $$AH + BH + CH \geq AI + BI + CI.$$

Sea $I$ el incentro de un triángulo no equilátero $ABC$, $I_A$ el $A$-excentro, $I'_A$ la reflexión de $I_A$ en $BC$, y $l_A$ la reflexión de la línea $AI'_A$ en $AI$. Defina los puntos $I_B$, $I'_B$ y la línea $l_B$ análogamente. Sea $P$ el punto de intersección de $l_A$ y $l_B$. Demuestre que $P$ se encuentra en la línea $OI$ donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea una de las tangentes desde $P$ al incírculo del triángulo $ABC$ que se encuentra con la circunferencia en los puntos $X$ e $Y$. Demuestre que $\angle XIY = 120^{\circ}$.

El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD,FX$ y $ME$ son concurrentes.

Sea $n$ un entero positivo. Determine el entero positivo más pequeño $k$ con la siguiente propiedad: es posible marcar $k$ celdas en un tablero de $2n \times 2n$ de modo que exista una partición única del tablero en dominós de $1 \times 2$ y $2 \times 1$, ninguno de los cuales contiene dos celdas marcadas.

Hay $n\ge 2$ segmentos de línea en el plano tales que cada dos segmentos se cruzan y no tres segmentos se encuentran en un punto. Geoff tiene que elegir un punto final de cada segmento y colocar una rana sobre él mirando hacia el otro punto final. Luego, aplaudirá $n-1$ veces. Cada vez que aplaude, cada rana saltará inmediatamente hacia el siguiente punto de intersección en su segmento. Las ranas nunca cambian la dirección de sus saltos. Geoff desea colocar las ranas de tal manera que ninguna de ellas ocupe el mismo punto de intersección al mismo tiempo. (a) Demuestre que Geoff siempre puede cumplir su deseo si $n$ es impar. (b) Demuestre que Geoff nunca puede cumplir su deseo si $n$ es par.

Hay $n \geq 3$ islas en una ciudad. Inicialmente, la compañía de ferries ofrece algunas rutas entre algunos pares de islas de tal manera que es imposible dividir las islas en dos grupos de modo que no haya dos islas en diferentes grupos conectadas por una ruta de ferry. Después de cada año, la compañía de ferries cerrará una ruta de ferry entre dos islas $X$ e $Y$. Al mismo tiempo, para mantener su servicio, la compañía abrirá nuevas rutas de acuerdo con la siguiente regla: para cualquier isla que esté conectada a una ruta de ferry a exactamente una de $X$ e $Y$, se agrega una nueva ruta entre esta isla y la otra de $X$ e $Y$. Suponga que en cualquier momento, si dividimos todas las islas en dos grupos no vacíos de cualquier manera, entonces se sabe que la compañía de ferries cerrará una cierta ruta que conecta dos islas de los dos grupos después de algunos años. Demuestre que después de algunos años habrá una isla que esté conectada a todas las demás islas por rutas de ferry.

Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Encuentra el número máximo de diagonales en un $n$ - gono regular que se pueden seleccionar, de modo que dos cualesquiera de ellas no se intersequen en el interior o sean perpendiculares entre sí.

Encuentra la mayor constante real $a$ tal que para todo $n \geq 1$ y para todos los números reales $x_0, x_1, ... , x_n$ que satisfacen $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ tenemos \[\frac{1}{x_1-x_0} + \frac{1}{x_2-x_1} + \dots + \frac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq a \left( \frac{2}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \dots + \frac{n+1}{x_n} \right)\]

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $f(0)\neq 0$ y para todo $x,y\in\mathbb{R}$ , \[ f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + \max \left\{ f(x^2+y^2), f(x^2)+f(y^2) \right\}. \]

La ecuación $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$ está escrita en la pizarra, con $2016$ factores lineales en cada lado. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ para el cual es posible borrar exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales de modo que quede al menos un factor en cada lado y la ecuación resultante no tenga soluciones reales?