Alicia y Bob juegan el siguiente juego: comenzando con el número $2$ escrito en una pizarra, cada jugador por turnos cambia el número actual $n$ a un número $n + p$ , donde $p$ es un divisor primo de $n$ . Alicia empieza primero y los jugadores se alternan por turnos. El juego lo pierde quien se vea obligado a escribir un número mayor que $\underbrace{22...2}_{2020}$ . Asumiendo un juego perfecto, ¿quién ganará el juego?

Encuentra todas las ternas de números reales positivos $(a, b, c)$ tal que la expresión $M = \frac{(a + b)(b + c)(a + b + c)}{abc}$ obtiene su valor mínimo.

Considera la secuencia $a_1, a_2, a_3, ...$ definida por $a_1 = 9$ y $a_{n + 1} = \frac{(n + 5)a_n + 22}{n + 3}$ para $n \ge 1$ . Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales $a_n$ es el cuadrado perfecto de un entero.

Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que el siguiente sistema se cumple: $$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\end{cases}$$

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ de grado impar $d$ y con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente propiedad: para cada entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\frac12 < \frac{P(x_i)}{P(x_j)} < 2$ y $\frac{P(x_i)}{P(x_j)}$ es la potencia $d$-ésima de un número racional para cada par de índices $i$ y $j$ con $1 \leq i, j \leq n$.

Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran en un círculo. Sea $S$ el área de $P$ . Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$ . Pruebe que $2S$ es un entero divisible por $n$ .

Denotemos por $\mathbb{N}$ al conjunto de todos los enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $m$ y $n$ , el entero $f(m)+f(n)-mn$ es distinto de cero y divide a $mf(m)+nf(n)$ .

Sea $a$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y considere la ecuación \[k = \frac{x^2-a}{x^2-y^2}.\] Sea $A$ el conjunto de enteros positivos $k$ para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $x>\sqrt{a}$ , y sea $B$ el conjunto de enteros positivos para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $0\leq x<\sqrt{a}$ . Demuestre que $A=B$ .

Sean $n, m, k$ y $l$ enteros positivos con $n \neq 1$ tal que $n^k + mn^l + 1$ divide a $n^{k+l} - 1$ . Pruebe que $m = 1$ y $l = 2k$ ; o $l|k$ y $m = \frac{n^{k-l}-1}{n^l-1}$ .

Un conjunto de enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene un factor primo en común con al menos uno de los otros elementos. Sea $P(n)=n^2+n+1$ . ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $b$ tal que existe un entero no negativo $a$ para el cual el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ es fragante?