Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}$ , tenemos \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y).\]

Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$ es un número primo.

Prueba que no existe ningún primo $p$ tal que cada potencia de $p$ es un palíndromo (un palíndromo es un número que se lee igual desde la izquierda que desde la derecha; en particular, un número que termina en uno o más ceros no puede ser un palíndromo).

¿Existen enteros positivos $m$ y $n$ que satisfagan la ecuación $m^3 = 9n^4 + 170n^2 + 289$ ?

El entero positivo $k$ y el conjunto $A$ de enteros distintos desde $1$ hasta $3k$ inclusive son tales que no hay distintos $a$ , $b$ , $c$ en $A$ que satisfagan $2b = a + c$ . Los números de $A$ en el intervalo $[1, k]$ serán llamados pequeños ; aquellos en $[k + 1, 2k]$ - medianos y aquellos en $[2k + 1, 3k]$ - grandes . ¿Es siempre verdad que no hay enteros positivos $x$ y $d$ tales que si $x$ , $x + d$ , y $x + 2d$ son divididos por $3k$ entonces los residuos pertenecen a $A$ y aquellos de $x$ y $x + d$ son diferentes y son: a) pequeños? b) medianos? c) grandes? (En este problema asumimos que si un múltiplo de $3k$ es dividido por $3k$ entonces el residuo es $3k$ en lugar de $0$ .)

Encuentra todos los números primos $p$ tales que $(x + y)^{19} - x^{19} - y^{19}$ es un múltiplo de $p$ para cualesquiera enteros positivos $x$ , $y$ .

Encuentra el entero más grande $k$ ( $k \ge 2$ ) , para el cual existe un entero $n$ ( $n \ge k$ ) tal que de cualquier colección de $n$ enteros positivos consecutivos uno siempre puede escoger $k$ números, los cuales verifican las siguientes condiciones: 1. cada número escogido no es divisible por $6$ , por $7$ , ni por $8$ ; 2. la diferencia positiva de cualesquiera dos números distintos escogidos no es divisible por al menos uno de los números $6$ , $7$ , y $8$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La recta que pasa por $A$ perpendicular a $BC$ interseca a $BC$ en $D$ . Sea $E$ el punto medio de $AD$ y $\omega$ el círculo con centro $E$ y radio igual a $AE$ . La recta $BE$ interseca a $\omega$ en un punto $X$ tal que $X$ y $B$ no están en el mismo lado de $AD$ y la recta $CE$ interseca a $\omega$ en un punto $Y$ tal que $C$ e $Y$ no están en el mismo lado de $AD$ . Si ambos puntos de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle BDX$ y $\triangle CDY$ se encuentran en la recta $AD$ , demuestra que $AB = AC$ .

Alicia y Bob juegan el siguiente juego: Alicia elige un conjunto $A = \{1, 2, ..., n \}$ para algún número natural $n \ge 2$ . Luego, comenzando con Bob, alternativamente eligen un número del conjunto $A$ , de acuerdo con las siguientes condiciones: inicialmente Bob elige cualquier número que quiera, después el número elegido en cada paso debe ser distinto de todos los números ya elegidos y debe diferir en $1$ de un número ya elegido. El juego termina cuando todos los números del conjunto $A$ son elegidos. Alicia gana si la suma de todos los números que ella ha elegido es compuesta. De lo contrario, Bob gana. Decide qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Viktor y Natalia compraron $2020$ cubetas de helado y quieren organizar un programa de degustación con $2020$ rondas tal que: - En cada ronda, ambos prueban $1$ helado, y esos $2$ helados probados en una sola ronda son diferentes entre sí. - Al final de las $2020$ rondas, ambos han probado cada helado exactamente una vez. Llamaremos a un programa de degustación justo si el número de helados que fueron probados por Viktor antes que Natalia es igual al número de helados probados por Natalia antes que Viktor. Demuestra que el número de horarios justos es estrictamente mayor que $2020!(2^{1010} + (1010!)^2)$ .