Para un entero no negativo $n$ , defina $a_n$ como el entero positivo con representación decimal \[1\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}1\mbox{.}\] Demuestre que $\frac{a_n}{3}$ es siempre la suma de dos cubos perfectos positivos, pero nunca la suma de dos cuadrados perfectos.

Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se intersecan en $F$ . Demuestre que $\measuredangle{AFS}=\measuredangle{ECD}$ .

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $CA$ , y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las líneas $DE$ y $FK$ se intersecan en $S$ . Demuestre que $AS$ es paralelo a $BC$ .

Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado $ABCD$ se divide en $n^2$ cuadrados unitarios. Cada uno de ellos se divide en dos triángulos por la diagonal paralela a $BD$ . Algunos de los vértices de los cuadrados unitarios se colorean de rojo de tal manera que cada uno de estos $2n^2$ triángulos contiene al menos un vértice rojo. Encuentre el número mínimo de vértices rojos.

En cada vértice de un $n$ - gono regular, hay una fortaleza. En el mismo momento, cada fortaleza dispara a una de las dos fortalezas más cercanas y la golpea. El resultado del disparo es el conjunto de las fortalezas golpeadas; no distinguimos si una fortaleza fue golpeada una o dos veces. Sea $P(n)$ el número de posibles resultados del disparo. Demuestre que para cada entero positivo $k\geqslant 3$ , $P(k)$ y $P(k+1)$ son relativamente primos.

Para cada entero $n\geqslant2$ , determine la constante real más grande $C_n$ tal que para todos los números reales positivos $a_1, \ldots, a_n$ tenemos \[\frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n}\geqslant\left(\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right)^2+C_n\cdot(a_1-a_n)^2\mbox{.}\]

Se dan tres sucesiones estrictamente crecientes \[a_1, a_2, a_3, \ldots,\qquad b_1, b_2, b_3, \ldots,\qquad c_1, c_2, c_3, \ldots\] de enteros positivos. Cada entero positivo pertenece a exactamente una de las tres secuencias. Para cada entero positivo $n$ , se cumplen las siguientes condiciones: (a) $c_{a_n}=b_n+1$ ; (b) $a_{n+1}>b_n$ ; (c) el número $c_{n+1}c_{n}-(n+1)c_{n+1}-nc_n$ es par. Encuentra $a_{2010}$ , $b_{2010}$ y $c_{2010}$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $n$ tiene al menos cuatro divisores positivos diferentes; (b) para cualquier divisor $a$ y $b$ de $n$ que satisfagan $1<a<b<n$ , el número $b-a$ divide a $n$ .

Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$ . Sea $M$ el centro de la circunferencia circunscrita $k$ del triángulo $BDE$ . El círculo $k$ interseca la línea $AC$ en los puntos $E$ y $F$ . Demuestre que las líneas $FM$ , $AD$ y $BC$ se encuentran en un punto.

Todos los divisores positivos de un entero positivo $N$ están escritos en una pizarra. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego tomando turnos alternados. En el primer movimiento, el jugador $A$ borra $N$ . Si el último número borrado es $d$ , entonces el siguiente jugador borra ya sea un divisor de $d$ o un múltiplo de $d$ . El jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Determine todos los números $N$ para los cuales $A$ puede ganar independientemente de los movimientos de $B$ .