La base de un prisma inclinado es un triángulo $ABC$ . La proyección perpendicular de $B_1$ , uno de los vértices superiores, es el punto medio de $BC$ . El ángulo diedro entre las caras laterales a través de $BC$ y $AB$ es $\alpha$ , y las aristas laterales del prisma forman un ángulo $\beta$ con la base. Si $r_1, r_2, r_3$ son exradios de una sección perpendicular del prisma, asumiendo que en $ABC, \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1, \angle A < \angle B < \angle C,$ y $BC = a$ , calcule $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3.$

Demuestre que para cada entero positivo $m$ podemos encontrar un conjunto finito $S$ de puntos en el plano, tal que dado cualquier punto $A$ de $S$ , hay exactamente $m$ puntos en $S$ a distancia unitaria de $A$ .

En un triángulo $ABC$ , sea $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $R$ su circunradio. Demuestra que:\n(a) $|OH| = R \sqrt{1-8 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma}$ donde $\alpha, \beta, \gamma$ son ángulos del triángulo $ABC;$\n(b) $O \equiv H$ si y solo si $ABC$ es equilátero.

Sean cuadrados construidos sobre los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$ , todos hacia el exterior del triángulo, y sean $A_1,B_1, C_1$ sus centros. Partiendo del triángulo $A_1B_1C_1$ se obtiene análogamente un triángulo $A_2B_2C_2$ . Si $S, S_1, S_2$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC,A_1B_1C_1,A_2B_2C_2$ , respectivamente, pruebe que $S = 8S_1 - 4S_2.$

Considera una sucesión de polinomios $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x), \ldots$, donde $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$ y para todo $n \geq 1$ se cumple la siguiente igualdad: \[P_{n+1}(x) + P_{n-1}(x) = xP_n(x).\] Demostrar que existen tres números reales $a, b, c$ tales que para todo $n \geq 1,$ \[(x^2 - 4)[P_n^2(x) - 4] = [aP_{n+1}(x) + bP_n(x) + cP_{n-1}(x)]^2.\]

Sea $x_n=2^{2^{n}}+1$ y sea $m$ el mínimo común múltiplo de $x_2, x_3, \ldots, x_{1971}.$ Hallar el último dígito de $m.$

Sean $a, b, c$ números reales positivos, $0 < a \leq b \leq c$. Demostrar que para cualquier número real positivo $x, y, z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[(ax+by+cz) \left( \frac xa + \frac yb+\frac zc \right) \leq (x+y+z)^2 \cdot \frac{(a+c)^2}{4ac}.\]

Denotemos por $s(n)= \sum_{d|n} d$ la suma de los divisores de un entero positivo $n$ ( $1$ y $n$ incluidos). Si $n$ tiene como máximo $5$ divisores primos distintos, demostrar que $s(n) < \frac{77}{16} n.$ Demostrar también que existe un número natural $n$ para el cual se cumple $s(n) < \frac{76}{16} n$.

Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ forman una red. Hallar el número de: \n(a) rectángulos con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(b) cuadrados con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(c) cuadrados en total, con vértices en la red.

Se nos da un entero positivo $n$ que no es una potencia de dos. Demuestre que existe un entero positivo $m$ con las siguientes dos propiedades: (a) $m$ es el producto de dos enteros positivos consecutivos; (b) la representación decimal de $m$ consta de dos bloques idénticos con $n$ dígitos.