En un triángulo $P_1P_2P_3$ sea $P_iQ_i$ la altitud desde $P_i$ para $i = 1, 2,3$ ( $Q_i$ siendo el pie de la altitud). El círculo con diámetro $P_iQ_i$ se encuentra con los dos lados correspondientes en dos puntos diferentes de $P_i.$ Denota la longitud del segmento cuyos puntos finales son estos dos puntos por $l_i.$ Demuestra que $l_1 = l_2 = l_3.$

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números positivos, $m_g = \sqrt[n]{(a_1a_2 \cdots a_n)}$ su media geométrica, y $m_a = \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)}{n}$ su media aritmética. Demuestra que \[(1 + m_g)^n \leq (1 + a_1) \cdots(1 + a_n) \leq (1 + m_a)^n.\]

Se nos dan dos círculos mutuamente tangentes en el plano, con radios $r_1, r_2$. Una línea interseca estos círculos en cuatro puntos, determinando tres segmentos de igual longitud. Encuentra esta longitud como una función de $r_1$ y $r_2$ y la condición para la solubilidad del problema.

Sabiendo que el sistema \[x + y + z = 3,\] \[x^3 + y^3 + z^3 = 15,\] \[x^4 + y^4 + z^4 = 35,\] tiene una solución real $x, y, z$ para la cual $x^2 + y^2 + z^2 < 10$, encuentre el valor de $x^5 + y^5 + z^5$ para esa solución.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales se intersecan en $O$ con un ángulo $\theta$. Sea $OA = a, OB = b, OC = c$ , y $OD = d, c > a > 0$, y $d > b > 0.$ Demuestra que si existe un cono circular recto con vértice $V$, con las propiedades: (1) su eje pasa por $O$, y (2) su superficie curva pasa por $A,B,C$ y $D,$ entonces \[OV^2=\frac{d^2b^2(c + a)^2 - c^2a^2(d + b)^2}{ca(d - b)^2 - db(c - a)^2}.\] Demuestra también que si $\frac{c+a}{d+b}$ está entre $\frac{ca}{db}$ y $\sqrt{\frac{ca}{db}},$ y $\frac{c-a}{d-b}=\frac{ca}{db},$ entonces para una elección adecuada de $\theta$, existe un cono circular recto con las propiedades (1) y (2).

Observa que $8^3 - 7^3 = 169 = 13^2$ y $13 = 2^2 + 3^2.$ Demuestra que si la diferencia entre dos cubos consecutivos es un cuadrado, entonces es el cuadrado de la suma de dos cuadrados consecutivos.

Un marciano, un venusiano y un humano residen en Plutón. Un día tienen la siguiente conversación: Marciano: He pasado $1/12$ de mi vida en Plutón. Humano: Yo también. Venusiano: Yo también. Marciano: Pero el venusiano y yo hemos pasado mucho más tiempo aquí que tú, humano. Humano: Es verdad. Venusiano: Sin embargo, el venusiano y yo tenemos la misma edad. Venusiano: Sí, he vivido $300$ años terrestres. Marciano: El venusiano y yo hemos estado en Plutón durante los últimos $13$ años. Se sabe que el humano y el marciano juntos han vivido $104$ años terrestres. Encuentra las edades del marciano, el venusiano y el humano.\n ***: Nota que los números en el problema no están necesariamente en base $10.$

Se da un sistema de $n$ números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tal que \[x_1 = \log_{x_{n-1}} x_n, x_2 = \log_{x_{n}} x_1, \ldots, x_n = \log_{x_{n-2}} x_{n-1}.\] Demuestra que $\prod_{k=1}^n x_k =1.$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número $1!+2!+3!+\cdots+n!$ es una potencia perfecta de un entero.

¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar tres caballos en un tablero de ajedrez de forma que el número de casillas atacadas sea máximo?