Se da un rombo con su incírculo. En cada vértice del rombo se construye un círculo que toca el incírculo y dos lados del rombo. Estos círculos tienen radios $r_1,r_2$ , mientras que el incírculo tiene radio $r$ . Dado que $r_1$ y $r_2$ son números naturales y que $r_1r_2=r$ , encuentre $r_1,r_2,$ y $r$ .

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son acutángulos. Tome un punto $X$ en el interior del segmento $AB$ , y similarmente $Y$ en $BC, Z$ en $CD$ y $T$ en $AD$ . a.) Si $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ , entonces demuestre que ninguno de los caminos cerrados $XYZTX$ tiene longitud mínima; b.) Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ , entonces hay infinitos caminos más cortos $XYZTX$ , cada uno con longitud $2AC\sin k$ , donde $2k=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ .

Sea $n \geq 2$ un número natural. Encuentra una forma de asignar números naturales a los vértices de un $2n$ -ágono regular de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones: (1) solo se utilizan los dígitos $1$ y $2$; (2) cada número consta de exactamente $n$ dígitos; (3) se asignan números diferentes a diferentes vértices; (4) los números asignados a dos vértices vecinos difieren en exactamente un dígito.

Se da un conjunto infinito de rectángulos en el plano de coordenadas cartesianas. Los vértices de cada uno de estos rectángulos tienen coordenadas $(0, 0), (p, 0), (p, q), (0, q)$ para algunos enteros positivos $p, q$ . Demuestra que deben existir dos entre ellos, uno de los cuales está completamente contenido en el otro.

Sean $ABC,AA_1A_2,BB_1B_2, CC_1C_2$ cuatro triángulos equiláteros en el plano que satisfacen sólo que todos están orientados positivamente (es decir, en el sentido contrario a las agujas del reloj). Denotemos los puntos medios de los segmentos $A_2B_1,B_2C_1, C_2A_1$ por $P,Q,R$ en este orden. Demuestre que el triángulo $PQR$ es equilátero.

Sean $A, B,$ y $C$ los ángulos de un triángulo. Si $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$, demuestre que el triángulo es rectángulo.

Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación \[x^2+y^2=(x-y)^3.\].

Se nos da un tablero de $n \times n$, donde $n$ es un número impar. En cada celda del tablero se escribe $+1$ o $-1$. Sean $a_k$ y $b_k$ los productos de los números en la $k^{th}$ fila y en la $k^{th}$ columna respectivamente. Demuestre que la suma $a_1 +a_2 +\cdots+a_n +b_1 +b_2 +\cdots+b_n$ no puede ser igual a cero.

Sea \[ E_n=(a_1-a_2)(a_1-a_3)\ldots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\ldots(a_2-a_n)+\ldots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\ldots(a_n-a_{n-1}). \] Sea $S_n$ la proposición que $E_n\ge0$ para todo $a_i$ real. Demuestre que $S_n$ es verdadera para $n=3$ y $5$, pero para ningún otro $n>2$.

Sea $M$ el circuncentro de un triángulo $ABC.$ La línea que pasa por $M$ perpendicular a $CM$ se encuentra con las líneas $CA$ y $CB$ en $Q$ y $P,$ respectivamente. Demuestra que \[\frac{\overline{CP}}{\overline{CM}} \cdot \frac{\overline{CQ}}{\overline{CM}}\cdot \frac{\overline{AB}}{\overline{PQ}}= 2.\]