Se dan dos triángulos equiláteros congruentes $ABC$ y $A'B'C'$ en el plano. Demuestra que los puntos medios de los segmentos $AA',BB', CC'$ son colineales o forman un triángulo equilátero.

Sean $A,B,C$ tres puntos con coordenadas enteras en el plano y $K$ un círculo con radio $R$ pasando por $A,B,C$ . Demuestra que $AB\cdot BC\cdot CA\ge 2R$ , y si el centro de $K$ está en el origen de las coordenadas, demuestra que $AB\cdot BC\cdot CA\ge 4R$ .

Sea $S$ un círculo, y $\alpha =\{A_1,\ldots ,A_n\}$ una familia de arcos abiertos en $S$ . Sea $N(\alpha )=n$ denota el número de elementos en $\alpha$ . Decimos que $\alpha$ es una cobertura de $S$ si $\bigcup_{k=1}^n A_k\supset S$ . Sean $\alpha=\{A_1,\ldots ,A_n\}$ y $\beta =\{B_1,\ldots ,B_m\}$ dos coberturas de $S$ . Demuestra que podemos elegir de la familia de todos los conjuntos $A_i\cap B_j,\ i=1,2,\ldots ,n,\ j=1, 2,\ldots ,m,$ una cobertura $\gamma$ de $S$ tal que $N(\gamma )\le N(\alpha)+N(\beta)$.

La matriz \[\nA=\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \n\end{pmatrix}\]\n\nsatisface la desigualdad $\sum_{j=1}^n |a_{j1}x_1 + \cdots+ a_{jn}x_n| \leq M$ para cada elección de números $x_i$ iguales a $\pm 1$ . Demuestra que \[|a_{11} + a_{22} + \cdots+ a_{nn}| \leq M.\]

Demostrar que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) cada par de los cuales son relativamente primos.

Sea $T_k = k - 1$ para $k = 1, 2, 3,4$ y \[T_{2k-1} = T_{2k-2} + 2^{k-2}, T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k \qquad (k \geq 3).\] Demostrar que para todo $k$ , \[1 + T_{2n-1} = \left[ \frac{12}{7}2^{n-1} \right] \quad \text{y} \quad 1 + T_{2n} = \left[ \frac{17}{7}2^{n-1} \right],\] donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$

Se da una cuadrícula cuadrada de $2n\times 2n$. Consideremos todos los posibles caminos a lo largo de las líneas de la cuadrícula, que van desde el centro de la cuadrícula hasta el borde, tales que \n(1) ningún punto de la cuadrícula se alcanza más de una vez, y \n(2) cada uno de los cuadrados homotéticos a la cuadrícula que tiene su centro en el centro de la cuadrícula se pasa sólo una vez. \n(a) Demostrar que el número de todos esos caminos es igual a $4\prod_{i=2}^n(16i-9)$. \n(b) Encontrar el número de pares de tales caminos que dividen la cuadrícula en dos figuras congruentes. \n(c) ¿Cuántas cuádruplas de tales caminos hay que dividen la cuadrícula en cuatro partes congruentes?

Dos semirrectas $a$ y $b$, con el extremo común $O$, forman un ángulo agudo $\alpha$. Sean $A$ en $a$ y $B$ en $b$ puntos tales que $OA=OB$, y sea $b'$ la recta que pasa por $A$ paralela a $b$. Sea $\beta$ el círculo con centro $B$ y radio $BO$. Construimos una secuencia de semirrectas $c_1,c_2,c_3,\ldots$, todas dentro del ángulo $\alpha$, de la siguiente manera: \n(i) $c_i$ se da arbitrariamente; \n(ii) para cada número natural $k$, el círculo $\beta$ intercepta en $c_k$ un segmento que es de la misma longitud que el segmento cortado en $b'$ por $a$ y $c_{k+1}$. Demostrar que el ángulo determinado por las rectas $c_k$ y $b$ tiene un límite cuando $k$ tiende a infinito y encontrar ese límite.

Determinar si existen números reales distintos $a, b, c, t$ para los cuales: \n(i) la ecuación $ax^2 + btx + c = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_1, x_2,$ \n(ii) la ecuación $bx^2 + ctx + a = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_2, x_3,$ \n(iii) la ecuación $cx^2 + atx + b = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_3, x_1.$

Demuestre que el sistema de ecuaciones \[2yz+x-y-z=a,\ 2xz-x+y-z=a,\ 2xy-x-y+z=a, \] $a$ siendo un parámetro, no puede tener cinco soluciones distintas. ¿Para qué valores de $a$ este sistema tiene cuatro soluciones enteras distintas?