Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido de $P_1$ por una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestre que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersecan en un punto $O$. Encuentra todos los ángulos de este cuadrilátero si $\measuredangle OBA=30^{\circ},\measuredangle OCB=45^{\circ},\measuredangle ODC=45^{\circ}$ , y $\measuredangle OAD=30^{\circ}$.

Se da una sucesión de números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ tal que $x_{i+1}=x_i+\frac{1}{30000}\sqrt{1-x_i^2},\ i=1,2,\ldots ,$ y $x_1=0$. ¿Puede ser $n$ igual a $50000$ si $x_n<1$?

Se escriben números naturales del $1$ al $99$ (no necesariamente distintos) en $99$ tarjetas. Se sabe que la suma de los números en cualquier subconjunto de tarjetas (incluido el conjunto de todas las tarjetas) no es divisible por $100$. Demuestre que todas las tarjetas contienen el mismo número.

Una línea quebrada $A_1A_2 \ldots A_n$ se dibuja en un cuadrado de $50 \times 50$, de modo que la distancia desde cualquier punto del cuadrado a la línea quebrada es menor que $1$ . Demuestre que su longitud total es mayor que $1248.$

Sean $m$ y $n$ enteros mayores que $1$ , y sea $\nu (n)$ el número de primos menores o iguales que $n$ . Demuestre que si la ecuación $\frac{n}{\nu(n)}=m$ tiene una solución, entonces también la tiene la ecuación $\frac{n}{\nu(n)}=m-1$.

Sea $ A = (a_{ij})$ , donde $ i,j = 1,2,\ldots,n$ , una matriz cuadrada con todos los $ a_{ij}$ enteros no negativos. Para cada $ i,j$ tal que $ a_{ij} = 0$ , la suma de los elementos en la fila $ i$ -ésima y la columna $ j$ -ésima es al menos $ n$ . Demuestre que la suma de todos los elementos en la matriz es al menos $ \frac {n^2}{2}$.

Demuestre que para números reales no negativos $a,b$ y enteros $n\ge 2$ , \[\frac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sean $L_i,\ i=1,2,3$, segmentos de línea en los lados de un triángulo equilátero, un segmento en cada lado, con longitudes $l_i,\ i=1,2,3$. Por $L_i^{\ast}$ denotamos el segmento de longitud $l_i$ con su punto medio en el punto medio del lado correspondiente del triángulo. Sea $M(L)$ el conjunto de puntos en el plano cuyas proyecciones ortogonales en los lados del triángulo están en $L_1,L_2$ , y $L_3$ , respectivamente; $M(L^{\ast})$ se define correspondientemente. Demuestre que si $l_1\ge l_2+l_3$ , tenemos que el área de $M(L)$ es menor o igual que el área de $M(L^{\ast})$.

Considera el conjunto de puntos de la cuadrícula $(m,n)$ en el plano, $m,n$ enteros. Sea $\sigma$ un subconjunto finito y define \[S(\sigma)=\sum_{(m,n)\in\sigma}(100-|m|-|n|) ] Encuentra el máximo de $S$ , tomado sobre el conjunto de todos los subconjuntos $\sigma$ .