Determina todos los pares $ (x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación \[ x!+y!=x^{y}.\]

Sea $ k$ un círculo y $ k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ cuatro círculos más pequeños con sus centros $ O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ respectivamente, en $ k$ . Para $ i = 1,2,3,4$ y $ k_{5}= k_{1}$ los círculos $ k_{i}$ y $ k_{i+1}$ se encuentran en $ A_{i}$ y $ B_{i}$ tal que $ A_{i}$ se encuentra en $ k$ . Los puntos $ O_{1},A_{1},O_{2},A_{2},O_{3},A_{3},O_{4},A_{4}$ se encuentran en ese orden en $ k$ y son diferentes por pares. Demuestra que $ B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ es un rectángulo.

Un conjunto de bolas contiene $ n$ bolas que están etiquetadas con los números $ 1,2,3,\ldots,n.$ Se nos dan $ k > 1$ de estos conjuntos. Queremos colorear las bolas con dos colores, negro y blanco de tal manera que (a) las bolas etiquetadas con el mismo número sean del mismo color, (b) cualquier subconjunto de $ k+1$ bolas con etiquetas (no necesariamente diferentes) $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{k+1}$ satisfaciendo la condición $ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}= a_{k+1}$ , contiene al menos una bola de cada color. Encuentra, dependiendo de $ k$ el mayor número posible $ n$ que admita tal coloración.

Sean $ a,b,c,d$ números reales positivos con $ a+b+c+d = 4$ . Demuestra que \[ a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leq 4.\]

Demuestre que el polinomio $x^4+\lambda x^3+\mu x^2+\nu x+1$ no tiene raíces reales si $\lambda, \mu , \nu $ son números reales que satisfacen \[|\lambda |+|\mu |+|\nu |\le \sqrt{2} \]

Un conjunto $M$ está formado por $\binom{2n}{n}$ hombres, $n=1,2,\ldots$. Demuestre que podemos elegir un subconjunto $P$ del conjunto $M$ que consta de $n+1$ hombres tal que se satisfaga una de las siguientes condiciones: $(1)$ cada miembro del conjunto $P$ conoce a todos los demás miembros del conjunto $P$ ; $(2)$ ningún miembro del conjunto $P$ conoce a ningún otro miembro del conjunto $P$.

Denotemos por $x_n(p)$ la multiplicidad del primo $p$ en la representación canónica del número $n!$ como producto de primos. Demuestre que $\frac{x_n(p)}{n}<\frac{1}{p-1}$ y $\lim_{n \to \infty}\frac{x_n(p)}{n}=\frac{1}{p-1}$.

Demuestre la desigualdad \[ \frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4, \] donde $a_i > 0, i = 1, 2, 3, 4.$

Suponga que los lados $AB$ y $DC$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ no son paralelos. En los lados $BC$ y $AD$, se eligen pares de puntos $(M,N)$ y $(K,L)$ tales que $BM=MN=NC$ y $AK=KL=LD$. Demuestre que las áreas de los triángulos $OKM$ y $OLN$ son diferentes, donde $O$ es el punto de intersección de $AB$ y $CD$.

Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido de $P_1$ por una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestre que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.