Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Sean $P$ , $Q$ puntos en los círculos $C_{1}$ , $C_{2}$ respectivamente, tales que $|AP| = |AQ|$ . El segmento $PQ$ interseca a los círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ en los puntos $M$ , $N$ respectivamente. Sea $C$ el centro del arco $BP$ de $C_{1}$ que no contiene el punto $A$ y sea $D$ el centro del arco $BQ$ de $C_{2}$ que no contiene el punto $A$ . Sea $E$ la intersección de $CM$ y $DN$ . Demuestre que $AE$ es perpendicular a $CD$ .

Un saltamontes está saltando a lo largo de la recta numérica. Inicialmente está situado en cero. En el paso $k$ - ésimo, la longitud de su salto es $k$ .\na) Si la longitud del salto es par, entonces salta hacia la izquierda, de lo contrario salta hacia la derecha (por ejemplo, primero salta un paso a la derecha, luego dos pasos a la izquierda, luego tres pasos a la derecha, luego cuatro pasos a la izquierda...). ¿Visitará todos los enteros al menos una vez?\nb) Si la longitud del salto es divisible por tres, entonces salta hacia la izquierda, de lo contrario salta hacia la derecha (por ejemplo, primero salta un paso a la derecha, luego dos pasos a la derecha, luego tres pasos a la izquierda, luego cuatro pasos a la derecha...). ¿Visitará todos los enteros al menos una vez?

Sean $C_{1}$ , $C_{2}$ círculos que se intersecan en $X$ , $Y$ . Sean $A$ , $D$ puntos en $C_{1}$ y $B$ , $C$ en $C_2$ tales que $A$ , $X$ , $C$ son colineales y $D$ , $X$ , $B$ son colineales. La tangente al círculo $C_{1}$ en $D$ interseca a $BC$ y la tangente a $C_{2}$ en $B$ en $P$ , $R$ respectivamente. La tangente a $C_2$ en $C$ interseca a $AD$ y la tangente a $C_1$ en $A$ , en $Q$ , $S$ respectivamente. Sea $W$ la intersección de $AD$ con la tangente a $C_{2}$ en $B$ y $Z$ la intersección de $BC$ con la tangente a $C_1$ en $A$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $YWZ$ , $RSY$ y $PQY$ tienen dos puntos en común, o son tangentes en el mismo punto.

Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tales que la igualdad $$f(x + y + yf(x)) = f(x) + f(y) + xf(y)$$ se cumple para todos los números reales $x$ , $y$ .

Para dos enteros positivos $a$ y $b$ , Ivica y Marica juegan el siguiente juego: Dados dos montones de $a$ y $b$ galletas, en cada turno un jugador toma $2n$ galletas de uno de los montones, de las cuales come $n$ y pone $n$ de ellas en el otro montón. El número $n$ es arbitrario en cada movimiento. Los jugadores se turnan alternativamente, comenzando Ivica. El jugador que no puede hacer un movimiento, pierde. Suponiendo que ambos jugadores juegan perfectamente, determine todos los pares de números $(a, b)$ para los cuales Marica tiene una estrategia ganadora.

Existe una secuencia $a_{1}, . . . , a_{2016}$ de enteros positivos, tal que cada suma $$a_{r} + a_{r+1} + . . . + a_{s-1} + a_{s}$$ (con $1 \le r \le s \le 2016$ ) es un número compuesto, pero:\na) $GCD(a_{i}, a_{i+1}) = 1$ para todo $i = 1, 2, . . . , 2015$ ;\nb) $GCD(a_{i}, a_{i+1}) = 1$ para todo $i = 1, 2, . . . , 2015$ y $GCD(a_{i}, a_{i+2}) = 1$ para todo $i = 1, 2, . . . , 2014$ ?\n$GCD(x, y)$ denota el máximo común divisor de $x$ , $y$ .

Encuentra todos los enteros positivos $ k$ con la siguiente propiedad: Existe un entero $ a$ de modo que $ (a+k)^{3}-a^{3}$ es un múltiplo de $ 2007$ .

Un tetraedro se llama un MEMO-tetraedro si todas las seis longitudes de lado son enteros positivos diferentes donde uno de ellos es $ 2$ y uno de ellos es $ 3$ . Sea $ l(T)$ la suma de las longitudes de lado del tetraedro $ T$ . (a) Encuentra todos los enteros positivos $ n$ de modo que exista un MEMO-Tetraedro $ T$ con $ l(T)=n$ . (b) ¿Cuántos MEMO-tetraedros $ T$ no congruentes por pares existen que satisfacen $ l(T)=2007$? Se dice que dos tetraedros no son congruentes si uno no se puede obtener del otro mediante una composición de reflexiones en planos, traslaciones y rotaciones. (No es necesario demostrar que los tetraedros no son degenerados, es decir, que tienen un volumen positivo).

Para un conjunto $ P$ de cinco puntos en el plano, no tres de ellos siendo colineales, sea $ s(P)$ el número de triángulos acutángulos formados por vértices en $ P$ . Encuentra el valor máximo de $ s(P)$ sobre todos esos conjuntos $ P$ .

Sean $ a,b,c,d$ números reales que satisfacen $ \frac{1}{2}\leq a,b,c,d\leq 2$ y $ abcd=1$ . Encuentra el valor máximo de \[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{d}\right)\left(d+\frac{1}{a}\right).\]