Se dan $3n$ puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{3n}$ en el plano, no tres de ellos colineales. Demostrar que se pueden construir $n$ triángulos disjuntos con vértices en los puntos $A_i.$

$f$ y $g$ son funciones con valores reales definidas en la recta real. Para todos $x$ e $y, f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$. $f$ no es idénticamente cero y $|f(x)|\le1$ para todo $x$. Demostrar que $|g(x)|\le1$ para todo $x$.

Demostrar la desigualdad \[(n + 1)\cos\frac{\pi}{n + 1}- n\cos\frac{\pi}{n}> 1\] para todos los números naturales $n \ge 2.$

Demuestra que $(2m)!(2n)!$ es un múltiplo de $m!n!(m+n)!$ para cualquier entero no negativo $m$ y $n$ .

$(a)$ Un plano $\pi$ pasa por el vértice $O$ del tetraedro regular $OPQR$ . Definimos $p, q, r$ como las distancias con signo de $P,Q,R$ desde $\pi$ medidas a lo largo de una normal dirigida a $\pi$ . Demuestra que \[p^2 + q^2 + r^2 + (q - r)^2 + (r - p)^2 + (p - q)^2 = 2a^2,\] donde $a$ es la longitud de una arista de un tetraedro. $(b)$ Dados cuatro planos paralelos no todos coincidentes, demuestre que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano. Nota: La parte $(b)$ es el Problema 6 de la IMO 1972

Dada una esfera $K$ , determine el conjunto de todos los puntos $A$ que son vértices de algunos paralelogramos $ABCD$ que satisfacen $AC \le BD$ y cuya diagonal completa $BD$ está contenida en $K$ .

Se da un círculo $k = (S, r)$ y un hexágono $AA'BB'CC'$ inscrito en él. Las longitudes de los lados del hexágono satisfacen $AA' = A'B, BB' = B'C, CC' = C'A$ . Demuestra que el área $P$ del triángulo $ABC$ no es mayor que el área $P'$ del triángulo $A'B'C'$. ¿Cuándo se cumple $P = P'$?

Sea 'm' el número más pequeño y 'M' el número más grande entre $ a_1 ,a_2 ,\ldots,a_n$ que satisfacen $ a_1 +a_2 +...+a_n =0$ . Demuestra que \[ a_1^2 +\cdots +a_n^2 \le-nmM\]

Llamaremos a un par de enteros positivos $(n, k)$ con $k > 1$ una $pareja$ $encantadora$ si existe una tabla $nxn$ que consiste en unos y ceros con las siguientes propiedades:\n• En cada fila hay exactamente $k$ unos.\n• Para cada dos filas hay exactamente una columna tal que en ambas intersecciones de esa columna con las filas mencionadas, se escribe el número uno.\nResuelva los siguientes subproblemas:\na) Sea $d \neq 1$ un divisor de $n$ . Determine todos los restos que $d$ puede dar cuando se divide por $6$ .\nb) Demuestre que existen infinitas parejas encantadoras.

Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ existen $n$ números racionales positivos distintos con la suma de sus cuadrados igual a $n$ .