¿Existe un número de $2n$ dígitos $\overline{a_{2n}a_{2n-1}\cdots a_1}$ (para un $n$ arbitrario) para el cual se cumple la siguiente igualdad: \[\overline{a_{2n}\cdots a_1}= (\overline{a_n \cdots a_1})^2?\]

Demuestra que para cualquier $n \not \equiv 0 \pmod{10}$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $0$ en su expansión decimal.

Demuestra la siguiente afirmación: Las cuatro alturas de un tetraedro $ABCD$ se intersecan en un punto si y solo si \[AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2.\]

Sean $n_1, n_2$ enteros positivos. Considere en un plano $E$ dos conjuntos disjuntos de puntos $M_1$ y $M_2$ que constan de $2n_1$ y $2n_2$ puntos, respectivamente, y tales que no hay tres puntos de la unión $M_1 \cup M_2$ que sean colineales. Demuestre que existe una línea recta $g$ con la siguiente propiedad: Cada uno de los dos semiplanos determinados por $g$ en $E$ ( $g$ no está incluido en ninguno) contiene exactamente la mitad de los puntos de $M_1$ y exactamente la mitad de los puntos de $M_2.$

Sea $S$ un subconjunto de los números reales con las siguientes propiedades: $(i)$ Si $x \in S$ e $y \in S$ , entonces $x - y \in S$ ; $(ii)$ Si $x \in S$ e $y \in S$ , entonces $xy \in S$ ; $(iii)$ $S$ contiene un número excepcional $x'$ tal que no hay un número $y$ en $S$ que satisfaga $x'y + x' + y = 0$ ; $(iv)$ Si $x \in S$ y $x \neq x'$ , existe un número $y$ en $S$ tal que $xy+x+y = 0$ . Demuestre que $(a)$ $S$ tiene más de un número en él; $(b)$ $x' \neq -1$ conduce a una contradicción; $(c)$ $x \in S$ y $x \neq 0$ implica $1/x \in S$ .

Tenemos $p$ jugadores que participan en un torneo, cada jugador juega contra todos los demás jugadores exactamente una vez. Se anota un punto por cada victoria, y no hay empates. Se da una secuencia de enteros no negativos $s_1 \le s_2 \le s_3 \le\cdots\le s_p$. Demuestre que es posible que esta secuencia sea un conjunto de puntuaciones finales de los jugadores en el torneo si y sólo si\n\[(i)\displaystyle\sum_{i=1}^{p} s_i =\frac{1}{2}p(p-1)\]\n\[\text{y}\]\n\[(ii)\text{ para todo }k < p,\displaystyle\sum_{i=1}^{k} s_i \ge \frac{1}{2} k(k - 1).\]

Un cilindro circular recto sólido con altura $h$ y radio de base $r$ tiene un hemisferio sólido de radio $r$ que descansa sobre él. El centro del hemisferio $O$ está en el eje del cilindro. Sea $P$ cualquier punto en la superficie del hemisferio y $Q$ el punto en el círculo base del cilindro que está más alejado de $P$ (midiendo a lo largo de la superficie del sólido combinado). Se estira una cuerda sobre la superficie de $P$ a $Q$ para que sea lo más corta posible. Demuestre que si la cuerda no está en un plano, la línea recta $PO$ cuando se produce corta la superficie curva del cilindro.

Considere el conjunto $S$ de todos los diferentes enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$, donde $m$ es un entero positivo. ¿Cuál es el entero $k$ más pequeño tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros uno de los cuales divide al otro? Demuestra tu resultado.

Dados cinco puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales, demostrar que se pueden encontrar al menos dos triángulos obtusángulos con vértices en los puntos dados. Construir un ejemplo en el que haya exactamente dos de esos triángulos.

Dados los números naturales $k$ y $n, k \le n, n \ge 3,$ encontrar el conjunto de todos los valores en el intervalo $(0, \pi)$ que el $k^{th}-$ más grande entre los ángulos interiores de un $n$ - gon convexo puede tomar.