Se da un rectángulo $ABCD$ cuyos lados tienen longitudes $3$ y $2n$ , donde $n$ es un número natural. Denotemos por $U(n)$ el número de formas en que se puede cortar el rectángulo en rectángulos de lados $1$ y $2$ . $(a)$ Demostrar que $\displaystyle U(n + 1)+U(n -1) = 4U(n);$ $(b)$ Demostrar que $\displaystyle U(n) =\frac{1}{2\sqrt{3}}[(\sqrt{3} + 1)(2 +\sqrt{3})^n + (\sqrt{3} - 1)(2 -\sqrt{3})^n].$

Si $n_1, n_2, \cdots, n_k$ son números naturales y $n_1+n_2+\cdots+n_k = n$ , demostrar que $\displaystyle max(n_1n_2\cdots n_k)=(t + 1)^rt^{k-r},$ donde $t =\left[\frac{n}{k}\right]$ y $r$ es el resto de $n$ al dividirlo por $k$ ; i.e., $n = tk + r, 0 \le r \le k- 1$.

Encontrar los valores de $n\in \mathbb{N}$ para los cuales la fracción $\frac{3^n-2}{2^n-3}$ es reducible.

Considere una secuencia de círculos $K_1,K_2,K_3,K_4, \ldots$ de radios $r_1, r_2, r_3, r_4, \ldots$ , respectivamente, situados dentro de un triángulo $ABC$ . El círculo $K_1$ es tangente a $AB$ y $AC$ ; $K_2$ es tangente a $K_1$ , $BA$ , y $BC$ ; $K_3$ es tangente a $K_2$ , $CA$ , y $CB$ ; $K_4$ es tangente a $K_3$ , $AB$ , y $AC$ ; etc. (a) Demuestra la relación \[r_1 \cot \frac 12 A+ 2 \sqrt{r_1r_2} + r_2 \cot \frac 12 B = r \left(\cot \frac 12 A + \cot \frac 12 B \right) \] donde $r$ es el radio del incírculo del triángulo $ABC$ . Deduzca la existencia de un $t_1$ tal que \[r_1=r \cot \frac 12 B \cot \frac 12 C \sin^2 t_1\] (b) Demuestra que la secuencia de círculos $K_1,K_2, \ldots $ es periódica.

Sean $A,B,C$ puntos en los lados $B_1C_1, C_1A_1,A_1B_1$ de un triángulo $A_1B_1C_1$ tales que $A_1A,B_1B,C_1C$ son las bisectrices de los ángulos del triángulo. Tenemos que $AC = BC$ y $A_1C_1 \neq B_1C_1$. $(a)$ Demuestra que $C_1$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. $(b)$ Suponga que $\angle BAC_1 =\frac{\pi}{6};$ encuentre la forma del triángulo $ABC$.

Las longitudes de los lados de un rectángulo son enteros impares. Demuestra que no existe un punto dentro de ese rectángulo que tenga distancias enteras a cada uno de sus cuatro vértices.

Dado $n>4$, demuestra que todo cuadrilátero cíclico puede ser diseccionado en $n$ cuadriláteros cíclicos.

Encuentra todas las soluciones reales positivas para:\n\n\begin{eqnarray*}\n(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\\n(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\\n(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\\n(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\\n(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\\n\end{eqnarray*}

Consideramos $n$ variables reales $x_i(1 \le i \le n)$ , donde $n$ es un entero y $n \ge 2$ . El producto de estas variables será denotado por $p$ , su suma por $s$ , y la suma de sus cuadrados por $S$ . Además, sea $\alpha$ una constante positiva. Ahora estudiamos la desigualdad $ps \le S\alpha$ . Demuestra que se cumple para cada $n$ - tupla $(x_i)$ si y solo si $\alpha=\frac{n+1}{2}$

Las diagonales de un $18$ - gono convexo están coloreadas en $5$ colores diferentes, cada color aparece en un número igual de diagonales. Las diagonales de un color están numeradas $1, 2,\cdots$ . Se elige aleatoriamente una quinta parte de todas las diagonales. Encuentra el número de posibilidades para las cuales entre las diagonales elegidas existen exactamente $n$ pares de diagonales del mismo color y con índices fijos $i, j$ .