Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 43
Se da un punto fijo $A$ dentro de un círculo. Considere todas las cuerdas $XY$ del círculo tales que $\angle XAY$ es un ángulo recto, y para todas estas cuerdas construya el punto $M$ simétrico a $A$ con respecto a $XY$. Encuentra el lugar geométrico de los puntos $M$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 42
Se da el número decimal $13^{101}$. En cambio, se escribe como un número ternario. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de este número ternario?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 41
Se da la expansión ternaria $x = 0.10101010\cdots$. Dar la expansión binaria de $x$. Alternativamente, transformar la expansión binaria $y = 0.110110110 \cdots$ en una expansión ternaria.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 40
Demuestre las desigualdades \[\frac{u}{v}\le \frac{\sin u}{\sin v}\le \frac{\pi}{2}\times\frac{u}{v},\text{ para }0 \le u < v \le \frac{\pi}{2}\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 39
¿Cuántas tangentes a la curva $y = x^3-3x\:\: (y = x^3 + px)$ se pueden trazar desde diferentes puntos en el plano?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 38
Se dan rectángulos congruentes con lados $m(cm)$ y $n(cm)$ ( $m, n$ enteros positivos). Caracterizar los rectángulos que se pueden construir a partir de estos rectángulos (a la manera de un rompecabezas). (El número de rectángulos no está acotado.)
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 37
En un tablero de ajedrez ( $8\times 8$ casillas con lados de longitud $1$ ) se eliminan dos casillas de esquinas diagonalmente opuestas. ¿Se puede ahora cubrir el tablero con rectángulos no superpuestos con lados de longitudes $1$ y $2$ ?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 36
Se da un número finito de segmentos paralelos en el plano con la propiedad de que para cada tres de los segmentos existe una línea que intersecta cada uno de ellos. Demuestre que existe una línea que intersecta todos los segmentos dados.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1972 Problema 35
$(a)$ Demostrar que para $a, b, c, d \in\mathbb{R}, m \in [1,+\infty)$ con $am + b =-cm + d = m$ , $\displaystyle (i)\sqrt{a^2 + b^2}+\sqrt{c^2 + d^2}+\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\ge \frac{4m^2}{1+m^2},\text{ and}$ $\displaystyle (ii) 2 \le \frac{4m^2}{1+m^2} < 4.$ $(b)$ Expresar $a, b, c, d$ como funciones de $m$ para que haya igualdad en $(i).$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1972 Problema 34
Si $p$ es un número primo mayor que $2$ y $a, b, c$ son enteros no divisibles por $p$ , demostrar que la ecuación $ax^2 + by^2 = pz + c$ tiene una solución entera.
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