Encuentre todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que los cuatro triángulos $DAB$ , $CDA$ , $BCD$ y $ABC$ sean semejantes entre sí.

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente se intersecan en los puntos $A$ y $B$ , y el punto $O_1$ se encuentra en $\omega_2$ . Sea $P$ un punto arbitrario que se encuentra en $\omega_1$ . Las líneas $BP, AP$ y $O_1O_2$ cortan $\omega_2$ por segunda vez en los puntos $X$ , $Y$ y $C$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $XPYC$ es un paralelogramo.

Para un polígono convexo (es decir, todos los ángulos menores de $180^\circ$ ) llame a una diagonal bisectriz si biseca tanto el área como el perímetro del polígono. ¿Cuál es el número máximo de diagonales bisectrices para un pentágono convexo?

Se da el cuadrilátero $ABCD$ tal que $$\n\angle DAC = \angle CAB = 60^\circ,\n$$ y $$\nAB = BD - AC.\n$$ Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $E$ . Demuestre que $$\n\angle ADB = 2\angle BEC.\n$$

Hay $n>2$ líneas en el plano en posición general; es decir, dos cualesquiera de ellas se encuentran, pero no tres son concurrentes. Todos sus puntos de intersección están marcados, y luego se eliminan todas las líneas, pero los puntos marcados permanecen. No se sabe qué punto marcado pertenece a qué dos líneas. ¿Es posible saber a qué línea pertenece cada punto y restaurarlos todos?

Como se muestra en la figura, hay dos rectángulos $ABCD$ y $PQRD$ con la misma área, y con bordes correspondientes paralelos. Sean los puntos $N,$ $M$ y $T$ los puntos medios de los segmentos $QR,$ $PC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $N,M$ y $T$ se encuentran en la misma línea.\nhttp://s4.picofile.com/file/8372959484/E02.png

Hay una mesa con forma de rectángulo de $8\times 5$ con cuatro agujeros en sus esquinas. Después de disparar una bola desde los puntos $A, B$ y $C$ en los caminos mostrados, ¿caerá la bola en alguno de los agujeros después de 6 reflexiones? (La bola se refleja con el mismo ángulo después de contactar los bordes de la mesa.)\nhttp://s5.picofile.com/file/8372960750/E01.png

Los números $1, 2,\cdots, 16$ están escritos en una matriz cuadrada de $4\times 4$ de modo que la suma de los números en cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma y, además, los números $1$ y $16$ se encuentran en esquinas opuestas. Demuestra que la suma de dos números simétricos con respecto al centro del cuadrado es igual a $17$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en el punto $O$. Sea una línea que pasa por $O$ intersecta el segmento $AB$ en $M$ y el segmento $CD$ en $N$. Demuestre que el segmento $MN$ no es más largo que al menos uno de los segmentos $AC$ y $BD$.

Demostrar que de un conjunto de diez números distintos de dos dígitos, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos cuyos miembros tienen la misma suma.