Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circuncírculo $\omega$. Sea $D$ un punto en el segmento de línea $BC$ tal que $\angle BAD = \angle CAO$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ y la línea $AD$. Si $M$, $N$ y $P$ son los puntos medios de los segmentos de línea $BE$, $OD$ y $AC$, respectivamente, demuestra que los puntos $M$, $N$ y $P$ son colineales.

Encuentra todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

Sean los puntos $A, B$ y $C$ sobre la parábola $\Delta$ tal que el punto $H$ , ortocentro del triángulo $ABC$ , coincide con el foco de la parábola $\Delta$ . Demuestre que al cambiar la posición de los puntos $A, B$ y $C$ en $\Delta$ de modo que el ortocentro permanezca en $H$ , el inradio del triángulo $ABC$ permanece sin cambios.

Dado un triángulo $ABC$ acutángulo no isósceles con circunferencia $\Gamma$ . $M$ es el punto medio del segmento $BC$ y $N$ es el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ (el que no contiene a $A$ ) . $X$ e $Y$ son puntos en $\Gamma$ tales que $BX\parallel CY\parallel AM$ . Asuma que existe un punto $Z$ en el segmento $BC$ tal que la circunferencia del triángulo $XYZ$ es tangente a $BC$ . Sea $\omega$ la circunferencia del triángulo $ZMN$ . La línea $AM$ se encuentra con $\omega$ por segunda vez en $P$ . Sea $K$ un punto en $\omega$ tal que $KN\parallel AM$ , sea $\omega_b$ un círculo que pasa por $B$ , $X$ y tangentes a $BC$ y $\omega_c$ un círculo que pasa por $C$ , $Y$ y tangentes a $BC$ . Demuestre que el círculo con centro $K$ y radio $KP$ es tangente a 3 círculos $\omega_b$ , $\omega_c$ y $\Gamma$ .

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Estos dos círculos se intersecan en los puntos $X$ e $Y$ . $AB$ es una línea tangente común de estos dos círculos tal que $A$ se encuentra en $\omega_1$ y $B$ se encuentra en $\omega_2$ . Sean las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $X$ intersecan $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Suponga que la línea $BL$ interseca $\omega_2$ por segunda vez en $M$ y la línea $AK$ interseca $\omega_1$ por segunda vez en $N$ . Demuestre que las líneas $AM, BN$ y $O_1O_2$ concurren.

¿Es cierto que en cualquier $n$ - gono convexo con $n > 3$ , existe un vértice y una diagonal que pasa por este vértice tal que los ángulos de esta diagonal con ambos lados adyacentes a este vértice son agudos?

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . El punto $C$ se encuentra en la línea tangente de $A$ a $\omega_1$ tal que $\angle ABC = 90^\circ$ . Una línea arbitraria $\ell$ pasa por $C$ y corta $\omega_2$ en los puntos $P$ y $Q$ . Las líneas $AP$ y $AQ$ cortan $\omega_1$ por segunda vez en los puntos $X$ y $Z$ respectivamente. Sea $Y$ el pie de la altura de $A$ a $\ell$ . Demuestre que los puntos $X, Y$ y $Z$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^\circ$ . Los puntos $E$ y $F$ son el pie de las bisectrices de los vértices $B$ y $C$ respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ se consideran tales que los cuadriláteros $BFPE$ y $CEQF$ son paralelogramos. Demuestre que $\angle PAQ > 150^\circ$ . (Considere el ángulo $PAQ$ que no contiene el lado $AB$ del triángulo.)

Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la línea $AD$ tal que $BK=AB$ . Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$ , y la bisectriz perpendicular de $PC$ interseca la circunferencia del triángulo $APD$ en los puntos $X$ , $Y$ . Demuestre que la circunferencia del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$ .

Tres círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ pasan por un punto común, digamos $P$ . La línea tangente a $\omega_1$ en $P$ interseca a $\omega_2$ y $\omega_3$ por segunda vez en los puntos $P_{1,2}$ y $P_{1,3}$ , respectivamente. Los puntos $P_{2,1}$ , $P_{2,3}$ , $P_{3,1}$ y $P_{3,2}$ se definen de manera similar. Demuestre que la bisectriz perpendicular de los segmentos $P_{1,2}P_{1,3}$ , $P_{2,1}P_{2,3}$ y $P_{3,1}P_{3,2}$ son concurrentes.